■244 A. Hiinvitz. 



/ ccco 4- ß 



" = ^ 



y CO -\- 



genügen. 



4. Betrachtet man umgekehrt a als Funktion von J, so wird 

 die Verzweigung von co durch eine die J-Ebene mit unendlich vielen 

 Blättern bedeckende Riemannsche Fläche dargestellt, deren Blätter 

 bei t7= zu je dreien, bei J= 1 zu je zweien, bei J = co zw je 

 unendlich vielen zusammenhängen. 



Derjenige einem gegebenen Werte von / entsprechende Wert 

 von C3, welcher durch einen Punkt des Gebietes G dargestellt wird, 

 möge als „Hauptwert" bezeichnet werden. 



5. Für den Differentialquotienten —, — gilt die Darstellung ^) 



„ o « Q 1 



4^ = — ^^^ = 4 V3 i jr VJ2 VJ— 1 . /^' JT (1 - /i')'. (5) 



Hiervon lässt sich eine Anwendung auf die Taylorschen Ent- 

 wickelungen der Funktion w (J) machen. Sei nämlich a^ ein von 

 0, 1, 00 verschiedener, übrigens beliebig fixierter Wert von J und 

 0(j der J= «0 entsprechende Hauptwert von o. In der Entwickelung 



« = «0 + ^'i (^ — ^o) + Ca (J — ao)^+ (6) 



ist dann nach (5) 



2 11 



.<.. = -^^.«, '(«,-!) ^ft. » 77 (1-/0-*- (/'. = «'■""")■ (7) 



4 y .3 • / TT 1- == 1 



Die Potenzreihe 



^^ (x) = «0 H- ai a? -f- ^^2 ^^ + (^) 



konvergiere in dem Kreise \x\<.r und nehme in diesem Kreise 

 weder den Wert noch den Wert 1 an. Da ^ (0) = a^ ist, so 

 besitzt «0 jedenfalls einen von und 1 verschiedenen Wert. Zu- 

 nächst werde nun weiter angenommen, dass i\ nicht Null ist. 

 Durch den Ansatz 



J = «0 + ^1 ^ + ^2 -^'^ + (^) 



1) Siehe des Verfassers „Grundlagen einer independenten Theorie der ellip- 

 tischen Modulfunktionen und Theorie der IVIultiplikatorgleichungen erster Stufe". 

 Mathematische Annalen, Bd. 18, S. 560. 



