über die Aiiweiuluii;,' der elliptischen ModidfuiiktiDiieii eU-. 



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wird nun jedem x im Innern des Kreises |x| < /• ein bestimmter 

 endlicher Wert / zugeordnet, der sich stetig mit x ändert. Be- 

 schreibt X einen geschlossenen Weg im Innern des Kreises \x\<. i\ 

 so beschreibt •/ einen geschlossenen Weg, der sich — infolge der 

 Voraussetzung, dass ^ (j) beständig von und 1 verschieden bleibt 

 — ohne Überschreitung der Punkte J=0 und ./= 1 auf einen 

 Punkt zusammenziehen lässt. Da nun co als Punktion von J im 

 Endlichen nur bei J = und / == 1 verzweigt ist, so folgt, dass 

 <o eine eindeutige reguläre Funktion von x im Kreise \x\<ir ist, 

 wenn der Wert von a an irgend einer Stelle fixiert wird, ^) In 

 dieser Hinsicht setze ich fest, dass für a; = 0, also •T = (loi der 

 Grösse co ihr Hauptwert m^ beigelegt werden soll. Für kleine 

 Werte von \x\ wird dann nach (6) 



CO., 



(10) 



Cj «1 x 



und diese Entwickelung muss für den ganzen Kreis \x\ < r gelten, 

 da CO in diesem Kreise regulär ist. Aus (10) folgt weiter: 



1 2i7r(j liTtoiQ linCiUiX-'r 1 1 



II = e 



= e 



- K -+ h 



inCiüi 



x-\- 



wobei die auf der rechten Seite stehende Potenzreihe für 

 konvergiert. 



(11) 



\x\ < r 



Da nun die Summe dieser Potenzreihe, nämlich h^ , beständig 

 dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 bleibt, so ist nach einem 

 ])ekannten Satze 



1 j¥ 



2 n Ci rti 



< 1 



oder, in Rücksicht auf (7), 



r < 12 V3 



J7(l 



r= 1 



Kf 



1 



•Vl«ol'Vl«o-l| 



(12) 



Der absolute Betrag von 

 ist kleiner als e~"^^ , weil «„ dem Gebiete G angehört und nicht 



*) Picard, I. c. 



