über die Anwendung der elliptischen MoJulfunktionen etc. 247 



Satz III: Wenn die Potenzreihe 



5p {x) = «0 H- «] x-^a^x^ -\ («1 =;= 0) 



in dem Kreise \x\ < r konvergiert und in diesem Kreise 

 weder den Wert a noch den Wert b abnimmt, so gilt die 

 Ungleichung 



^•<T-^^— 'T^-Vl^o-^l' VK^^> (15) 



]/\b-a\ 



Eine ähnliche Verallgemeinerung gestattet natürlich auch der 

 Satz IL 



Da die beiden Werte a und b in völlig gleichberechtigter 

 Weise auftreten, so bleibt die Ungleichung (15) gültig, wenn man 

 a mit b vertauscht. Wendet man ferner den Satz III auf die Po- 



tenzent Wickelungen von -^^tt—. und lg(^(.r) — a) an, so ergeben 



45 \X) ci 



sich weitere Ungleichungen für den Radius r, auf die ich indessen 



hier nicht näher eingehen will. ') 



3. 

 Die Potenzreihe 



sp (^■) = i -^ a^ X -i- a._ x'' i- (rt, =!- 0) (16) 



möge im Kreise \x\< r konvergieren und in demselben — abgesehen 

 vom Mittelpunkte a; = 0, wo ^^ (0) = 1 ist — weder den Wert noch 

 den Wert 1 annehmen. 

 Setzt man nun wieder 



J = 1 + ttj X' -h «2 ^^ + (1 '^) 



und ordnet dem Argumente x =^ den Hauptwert a = i zu, so 

 wird dadurch co im Kreise |ic|<r als zweiwertige, nur bei a:; = 

 verzweigte Funktion von x definiert. Es gilt daher für \x\ < r eine 

 Entwickelung der Gestalt 



a 



= i + c, Vx- + c. {ylxf-\- (18) 



') Durch eine nähere Untersuchung des imaginiiren Teiles der Reihe (10) 

 lassen sich noch Verschärfungen der Ungleichungen (14) und (15) erzielen. So 

 ergibt sich z. B., dass der in diesen Ungleichungen auftretende Zahlenfaktor 'i'-l 

 auch durch den kleinern Faktor Ki ersetzt werden darf. 



I 



