über die Anwendung' der elliptischen Modulfunktionen etc. 251 



Von diesen Ungleichungen lässt sich die erste leicht auf fol- 

 gende Weise verifizieren. 



Die Wurzeln der Gleichungen fix) = und J'{x) = 1 seien 

 iCj, x^, . . x^^ bezüglich x[, x'^, . . x'^. 



Liegt nun keine dieser Wurzeln ausserhalb des Kreises \x\ = r, 

 so ist 



r >\x.x^. . .x\ = -^-Y ' r >\x. x^ . . . x\ = — ■. — r— , 



und folglich, da von den beiden Grössen \a \ und ja — ll mindestens 



eine > -^ ist, 



^ 1 

 r > > 



umsomehr also 



r> 



V2|«ol 



1 



n 



Es sei X = Xq ein Punkt regulären Verhaltens der analytischen 

 Funktion /(a") und J' (xq) von Null verschieden. 



Wendet man nun den Satz III auf die Entwicklung 



/(x„ -h x) =/(x'o) +/'(^o) • ^ + ^ /" (^o) a:' + • • • • • 



an, so erhält man 



Satz VII: Beschreibt man um den Punkt x^^ als Mittel- 

 punkt einen Kreis mit dem Radius 



Ü 



6 



]' b-a\ 



\/\ {f{xo)-ay{nxo)-by 



so befindet sich im iiinern dieses Kreises entweder eine 

 singulare Stelle von f{jj) oder eine Stelle, an welcher 

 f{x) den Wert a annimmt oder eine Stelle, an welcher 

 f{x) den Wert h annimmt. Vorausgesetzt ist dabei nur, 

 dass sich /(aj) an der Stelle x = x^ regulär verhält und 

 /" {x^^) nicht Null ist. 



Vierte Ijalirsschril't d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLIX. 1904. 17 



