Die konjugierten Keiiifläciien des Pentaeders. 307 



zum Ort derjenigen Punkte "i^, welche als zweite Doppelpunkte in 

 diesen Polaren möglich sind. Als Fläche S aber, der nach der 

 ursprünglichen Definition jeder beliebige Punkt des Raumes ange- 

 hören müsste, kann man jetzt den Ort der Punkte F auffassen, 

 deren erste Polare neben /7 noch einen zweiten Doppelpunkt ^4^ 

 besitzt. In gleicher Weise sind die ursprünglichen Festsetzungen 

 zu modifizieren, wenn in irgend welche ti-fachen Punkte oder 

 «-fachen Kurven (fi > 2) enthalten sind. Die Bezeichnungen : kon- 

 jugierte Kernflächen, Hessiana, Steineriana, entsprechende Punkte 

 können auch in allen derartigen Ausnahmefällen beibehalten werden. 

 Zur Veranschaulichung dieser Verhältnisse diene als einfachster 

 Fall die Steinersche Römerfläche 



^4 = v' V' + 1' ^2 -h r- r - 2 I »/ e t = 



mit dem dreifachen Punkte (| = 0, >; = 0, ^ = 0) und den drei in 

 ihm sich schneidenden Doppelgeraden (»; — 0, ^ = ; ^ = 0, | = ; 

 b = 0, /; = ()). Ihre Hessiana wird durch die Gleichung gegeben: 



Die erste Polare des Punktes P (x, //, z, t) nach ^^ ist 



Ä'3 — T /v'o = für 



sie hat in (| = 0, »/ ^ 0, l = 0) einen Doppelpunkt. Ein zweiter 

 Doppelpunkt tritt ein, wenn die beiden konzentrischen Kegel K^ == 

 und A'o = sich längs einer Kante berühren, oder auch, indem man 



setzt und t' // £;' als homogene Dreiseitskoordinaten in einer Ebene 

 betrachtet: wenn die Kurve dritten Grades 



c;=x-.ro/'+r')-Hz/-'/a'^'+r-)+--e'(r'+v')-^r'/r=o 



von der Geraden (j' = x • ^' -j-- // ■ )/ -\- z • t ^ berührt wird. In 

 diesem Falle wird P ein Punkt der eigentlichen Steineriana von 

 (P^, zu deren Gleichung man also gelangt, wenn man f;,' aus Punkt- 

 koordinaten in Linienkoordinateii überführt. Man findet für dieso 



