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Gleichung .^i o =^ 0, wo .S', „ eine symmetrische Determinante 4'®" Grades 

 ist '), deren Entwicklung die x, /y, z, i im zehnten Grade enthält. 

 Ein anderes Beispiel, das in mannigfachen Beziehungen zu dem 

 Sylvesterschen Pentaeder'-) der Fläche dritten Grades, insbesondere 

 der Clebschschen Diagonalfläche ^) steht, soll im Nachfolgenden 

 ausführlicher behandelt werden. 



I. 



Fünf Ebenen E^ (x = 1, 2, 3, 4, 5), die voneinander unabhängig 

 sind, bilden ein Pentaeder, das als Spezialfall einer Fläche 5'®" Grades 

 ^5 aufgefasst werden kann. Die zehn Kanten O^^ = {E^, E ) sind 

 Doppelgeraden, die zehn Ecken E^ =^ {E^, E^^, E^) sind dreifache 

 Punkte von 0.. Die ersten Polaren qo^ nach 0^ sind also für beliebige 

 Punkte des Raumes Flächen 4***" Grades, welche die Geraden G ^ 



' OL p 



einfach enthalten und die zehn Punkte A'^^^^ zu Doppelpunkten be- 

 sitzen. Liegt der Pol P in der Ebene E^ , so zerfällt (p^ in Ei 

 und eine Fläche 3'*'" Grades, für welche die Ecken des Tetraeders 

 E^ E-^ E^E^ Doppelpunkte sind. Ist P ein Punkt der Kante G^.^. 

 so besteht fp^ aus den Ebenen E^ E., und einem Kegel zweiten 

 Grades, welcher dem von E^ E^ E^ gebildeten Trieder umschrieben 

 ist. Für die Ecke £"123 setzt sich (p^ aus dem Trieder E^E^E^ 

 und der Polarebene von ü'jo-j nach dem als Fläche 2^''" Grades auf- 

 gefassten Ebenenpaar E^ E.^ zusammen. 



Zur analytischen Darstellung bedient man sich am besten der 

 auf die E^ bezogenen Pentaederkoordinaten, zwischen denen man 

 die identische Relation voraussetzt : 



2;^ = ^ + >? + e + r + aJEEE0. 



Dann ist das Pentaeder selbst durch 



^, = ^>;^TQ = 



gegeben. Für die Hessiana dieser Fläche ergibt sich 



wo nun 5, l), 5, t, In als laufende Koordinaten eingeführt sind. ^12 



') Vergl. z. B. Schläfli, „Beitrag zur Theorie der Elimination". Denliscliriften 

 der Wiener Akademie 1S5!2, pag. ()7. 



'^) Salmon, „Analytic Geometry of tliree dimensions". 3. ed. pag. 459 etc. 

 ^) „Das Fünfseit und die Gleichung .V^» Grades". Math. Annalen IV, ÜS4. 



