Die konju^'ieiteii Kcnitläclieii des Pentaeders. 309 



besteht also aus den doppelt gelegten Pentaederebenen und einer 

 Fläche 2"-" Grades 



welche im Nachfolgenden als eigentliche Hessiana des Pentaeders 

 betrachtet werden soll. 



§o hat mit ö,2 zwei Punkte gemein, welche mit I'^.,^, -^124» 

 £■,25 je eme äquianharmonische Gruppe bilden; auf den zehn Kanten 

 gibt es im Ganzen zwanzig solcher Punkte C. Die Ebene Er, schneidet 

 aus A^-, fl*?" „Kegelschnitt der vierzehn Punkte", der zu dem Vier- 

 seit Ct'ij, (r2 5, (?.j5, G45 gehört; er geht durch die auf den Seiten 

 desselben gelegenen acht Punkte C. Auf einer Diagonale d des 

 Vierseits liegen zwei Punkte des Kegelschnitts, welche gleichzeitig 

 harmonisch sind zu dem Paare der auf d gelegenen Ecken und zu 

 dem Schnittpunktenpaar mit den beiden anderen Diagonalen ; es 

 liegen dreissig solcher Punkte D auf Apg. 



Ein Punkt '^ (v, l), 3, t, tr) auf Ä^2 ist — neben den zehn A'; 

 — elfter Doppelpunkt in einer ersten Polaren (p^ von O,,. Zwischen 

 den Koordinaten von ^4^ und denjenigen des zugehörigen Pols 

 P(.r, u, 3, t, iv) von q)^ existieren Bedingungsgleichungen, welche 

 erfüllt sind für 



x:y:z:t:w = i^:\)':i-: t' : lii- 



oder yjx : ]'i/ : \z :\f:]ic = x:\):y.i: in. 



Hieraus ergibt sich 



S=Z \x = ix-h Vy + VT+ V^+ \w = 0. 



Die Unbestimmtheit der Wurzelzeichen wird, abgesehen von 

 Ausnahmefällen, gehoben und damit die eindeutige und reziproke 

 Beziehung zwischen ^|> und P hergestellt durch die Bedingung 

 2Jx ---- 0. Die Gleichung .9=0 liefert die eigentliche Steineriana 

 des Pentaeders. 



Zu dieser Gleichung gelangt man auch durch Betrachtungen 

 über den Tangentialkegel, welcher von einem ihrer melirfachen 

 Punkte aus an eine algebraische Fläche gelegt werden kann. Für 

 den vorliegenden Fall dienen die Untersuchungen Kummers') über 



') ,1 bei- die al^'ehraischen Strahlensysteme. " Alilinntlliin!.'en der HiMÜiier 

 Akademie 18<i(i. Ver^l. auch Sahnon 1. c. pag. 508. 



