;Uü C. F. Geiser. 



die Singularitäten der Brennflächen der Strahlensysteme zweiter 

 Ordnung als Ausgangspunkt. 



Die Gleichung der ersten Polaren von P nach 0^ lautet: 



WO die ^, t], . . CO laufende Koordinaten sind. Der Punkt | = 0, 

 i] = 0, ^ = ist Doppelpunkt von (p^ und der in ihm sich an- 

 schmiegende Kegel wird gegeben durch 



Ä'e = {O^-»/ t-^yU-^ Hr^) (I -f V +0 + (i - ^t') r»? e}- 



oder für {xr]t+-yU-\- z^v) (^ -i- ^/ + = Qs» ^Jyt^ ^^3 

 K, = QI-2{t-^ w) Q, P, + {t - ivy PI = 0. 



Kg zerfällt in zwei Kegel dritten Grades, die dem aus P3 

 und Q3 gebildeten Büschel angehören. Die neun Grundkanten 

 des Büschels (von denen dreimal zwei zusammenfallen) gehen nach 

 den neun übrigen Doppelpunkten von cp^. Soll q)^ einen elften 

 Doppelpunkt enthalten, so muss K^ einen zehnten Doppelstrahl 

 besitzen, d. h. es muss einer der beiden Kegel dritten Grades 



K, = Q,-(^i±ywyp, = o 



einen Doppelstrahl haben. 



Man fasse für einen Augenblick (J, r], t,) als homogene Drei- 

 seitskoordinaten in der Ebene auf, so stellt 



f + -^ + y +4=^* (' + •'? + ^ + ^^^) 



eine Kurve dritten Grades dar ^). Soll dieselbe eine eigentliche 

 Kurve dritten Grades mit Doppelpunkt sein, so besteht die Relation 



± \a ± \h ± ic i id = 0. 



Wendet man dies auf die Kegel K3 an, so erscheint wieder 

 die Gleichung 6" = der eigentlichen Steineriana. 



') Man vergleiche: Berzolari, „Sulla lemniscata projettiva". Rendiconti del 

 R. Istituto Lombardo 1904, wo die hier für das Pentaeder gegebenen Entwick- 

 lunsren für das ebene Vierseit durchgeführt sind. 



