Die konjugierten Keinnadien des Pentaeilers. 319 



Schreibt man die Gleichung vierten Grades für k in der Form : 



5 A< + 3 2; a-,; //o • -^^ + 2 2" a;,; //,', zi -k-^ ^ xi yi ^J ^.) =^ <>, 



so hat dieselbe zwei gleiche Wurzeln, wenn gleichzeitig 



^ ^i i/o -0 == , 9 (2: Xo //o)^ — 20 2: x^ yi zo ^0 = 



ist. Die beiden Doppelwurzeln werden aus der quadratischen 

 Gleichung 



gefunden. In Verbindung mit den beiden zwischen k und ^a be- 

 stehenden Gleichungen folgt hieraus: 



4 (2: -^V -f 15 2:—-- = 0. 



Werden die Koordinaten von ^j, als laufende Koordinaten 

 aufgefasst, so stellt diese Gleichung eine Fläche achten Grades Q^g 

 dar. Die Schnittkurve (5, g von ^^ mit §3 ist das Bild der Kurve, 

 die von den Berührungspunkten der eigentlichen Doppeltangential- 

 ebenen der S^ gebildet wird. Die Kanten des Pentaeders sind in 

 5-8 Doppelgeraden, also die 20 Punkte 6' Doppelpunkte in ©ig. Die 

 Berührungskurve selbst ist eine C32, denn einem ebenen Schnitte 

 von aS's entspricht auf §2 ^^''^ Schnitt mit einer ^.,\ aber §21 i^%i 

 ^2 haben 32 Punkte gemein. 



Soll die charakteristische Gleichung vierten Grades für X eine 

 dreifache Wurzel besitzen, so müssen die beiden Bedingungen er- 

 füllt sein: 



20 E aj ^0 -- ; K + 3 (2: xi yiY - 0, 5 (2: x', y', ^J)' + 2 {:2x', y^f = 



und für die dreifache Wurzel besteht die Gleichung 



10A2+2;./;,;//; = 0. 

 Es ist also: 



--V^=^ oder 2.' £0^)030 = 0. 



Die durch diese Gleichung dargestellte Fläche dritten Grades 

 ^•3 schneidet A^a i" einer Kurve Gg, welche das Bild der eigent- 



