S4 Dedekind, Mathematische Miitheilanpcn. 



V. Zur Theorie der Maxima und Minima. 



In den Elementen der Differentialrechnung wird 

 folgender Satz bewiesen : 



„Sind innerhalb eines gewissen Werthengcbietes 

 der unabhängigen Variabein x, y, *, . . die partiellen 

 Derivirten erster Ordnung 



ttu du du 

 dx ' dy ' dz ' 



einer Function u dieser Variabein überall endlich und ste- 

 tig, so kann ein Maximum oder Minimum von u nur da 

 eintreten, wo diese Derivirten sämmtlich verschwinden." 



Hat nämlich z. B. -^ einen von Null verschiede- 



(IX 



nen Werth, so erleidet u, wenn man der Variabein 

 x zwei beliebig kleine Aenderungen von entgegen- 

 gesetzten Vorzeichen giebt, ebenfalls Aenderungen 

 von entgegengesetzten Vorzeichen, so dass der ent- 

 sprechende Wertb von u weder ein Maximum noch 

 ein Minimum sein kann. 



Man bedient sich dieses Satzes, um die Stellen 

 x, y, z, . . . aufzusuchen, wo die Function eiu Ma- 

 ximum oder Minimum wird; aber dies kann auch an 

 solchen Stellen eintreten , wo die partiellen Derivirten 

 unstetig werden, und zwar bietet sich dieser Fall 

 häufig in ganz einfachen Aufgaben dar, wofür das 

 folgende Beispiel einen Beleg geben mag, bei wel- 

 chem diese Erscheinung bis jetzt unbeachtet geblie- 

 ben ist. 



Aufgabe: Es sind drei Puncte m l , m?, m 3 ge- 

 geben ; es soll ein vierter Punct m gefunden werden, 

 für welchen die Summe der absoluten Distanzen mnn, 

 w?m 2 , mm 3 so klein wie möglich ausfällt. 



