Üedekind , mathematische Mitthciluiigcn. 87 



menfallen. Da endlich für den Fall, dass der Drei- 

 eckswinkel bei mi um unendlich wenig kleiner als 

 1*20 ° ist , die frühere Conslruction den gesuchten 

 Punkt m unendlich nahe bei mj liefert, und auch, 

 wenn dieser Winkel = 180 r ist, der gesuchte Punct 

 offenbar mit ntj zusammenfällt, so wird es daher so 

 gut wie gewiss , dass auch für alle VVerthe des Win- 

 kels zwischen 120° und 180 J die Spitze desselben der 

 gesuchte Punct ist. 



Dies bestätigt sich analytisch , wenn man die un- 

 endlich kleine Aenderung der Function ti untersucht 

 für den Fall, dass der variable Punct m sich unend- 

 lich wenig von dem Puncte m\ entfernt. Zieht man 

 nämlich vom Punct »jj aus eine beliebige Richtung h, 

 welche mit mjm 2 und m^ die Winkel « und ß ein- 

 schliesst, so ist die in dieser Richtung h genommene 

 Derivirte der Function u gleich 



a + ß " — ß 



1 — cos a — cos ß = 1 — 2 cos — - — cos — - — ; 



bezeichnet man ferner mit © den Winkel zwischen 

 den Richtungen m 1 »!2 und mim 3 , von dem wir anneh- 

 men, dass er zwischen 120° und 180° liegt, so folgt 

 aus den bekannten Eigenschaften 



a -+-/J + e ^360°, a + ß^.e, 

 der drei Winkel zwischen drei Richtungen, dass 



120° ^ * t ß ^ 60°, 



also 



i 



2 2 2 



+ 5- 



dass also der absolute Werth von 2 cos 2 cos * 

 ein echter Bruch ist. Mithin ist die obige Derivirte 



