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Iiiij ;,, =5 li — 2n.ii/ ; <x> M = <1> -f- 2h.t(x — X) 



die Gleichung 



(5) io<j >■ = n^-^—Up ~<i>). 



weiche für jeden Werth von A eine besondere Spi- 

 rale darstellt*;. Es ergibt sich also, dass man durch 

 die sämmtlichen Potenzpuncte eine Schaar von un- 

 endlich vielen logarithmischen Spiralen hindurch legen 

 kann. Alle diese Spiralen haben den Anfangspunct 

 als gemeinschaftlichen Pol und werden aus (5) er- 

 halten, wenn man für A alle positiven und negativen 

 ganzen Zahlen und Null setzt. 



In dem Falle, dass der Exponent reell, also y = o 

 ist, fallen alle diese Spiralen mit dem schon früher 

 gefundenen Kreise zusammen. Ist aber der Exponent 

 rein imaginär, also x = o, so geht nur die dem Werthe 

 l = o zugehörige Spirale in eine Gerade über, wah- 

 rend alle übrigen logarithmische Spiralen bleiben, 

 die paarweise gleich, aber entgegengesetzt gewunden 

 sind. Dasselbe tritt auch ein, wenn x eine ganze 

 Zahl ist; dann geht die Spirale, welche dem Werthe 

 A = x angehört, in eine Gerade über, und jeder Spi- 

 rillen mit einem Werthe A = A' entspricht eine andere 

 mit dem Werthe A = 2a; A', welche ihr gleich ist, 

 aber nach der entgegengesetzten Richtung gewunden. 



*) Man könnte für m irgend eine Function von n annehmen., 

 von der Beschaffenheit, dass allen ganzzahligen Werlhen von n auch 

 ganzzahlige Werthe von m entsprechen, z. B. die Anzahl der zu n 

 relativen Primzahlen, welche kleiner als n sind; die Anzahl der 

 Divisoren von it u. dgl. Eine logai ilhmischr Spirale erhalt man 

 aber nur dann, wenn DI eine lineare Function von ;j mit gauzzah- 

 ligcu CoefBcienlen ist. Man überzeugt sich leicht, dass der letzte 

 Fall von dem im Text angenommenen im Resultat nicht vei 

 schieden ist. 



