üuroge, mathematische^iMitllieilungcu. 307 



und darunter die reellen Logarithmen der stets als 

 positiv angesehenen Radien Vectoren verstanden wer- 

 den. Dann erhellt zunächst, da diese Gleichuugen 

 in Bezug- auf q und cp linear sind , dass es nur einen 

 einzigen Punct «riebt, für welchen zu gleicher Zeit 

 r' = r und cp' = cp ist. Allein, da der nämliche Punct, 

 welcher die Polarcoordinaten r und <p hat, auch durch 

 die Polarcoordinaten r und cp 4- 2/wr bestimmt ist, wenn 

 n eine ganze Zahl bedeutet, so folgt, dass auch alle 

 diejenigen Puncte beiden Spiralen gemeinschaftlich 

 sein werden, für welche zugleich 



/■' = r und cp' es cp + 2/i.t 



ist. Die beiden Spiralen durchschneiden sich daher 

 in unendlich vielen Puncten, und man wird die Polar- 

 coordinaten sämmtlicher Durchschniltspuncte erhalten, 

 wenn man q und cp aus den Gleichungen 



Q = q ■+- p • cp q ss q' -+- p' (cp + 2)i.i I 



bestimmt und dem n alle ganzzahligen Werthe (Null 

 eingeschlossen) zuertheilt. Bezeichnet man daher mit 

 Q n -, <p n ', Q n -, <p n die einem bestimmten n zukommenden 

 Werthe der Polarcoordinaten der Durchschnittspuncte, 

 so erhalt man 



pq ' - p'q + 2pp' ■ n x 

 (6; (>„ = Pn - j—^;, 



q' — q -+- 2p' • na 



*" = — ¥=vr- 



Alsdann sind die Winkel cp in der Spirale I gezahlt. 

 Zählt man diese Winkel in der Spirale II, so erhält man 



»„=?„ + 2,.*-- p _ pl 



Beide Spiralen nähern sich ihrem gemeinschaft- 

 lichen Pole in unendlich vielen Windungen, tts gib! 

 daher keine Windung, die man absolut als die erste 

 oder nullte annehmen, und von der aus man die 



