308 Du rege, mathematische Mittbeilungcn. 



übrigen zählen könnte. Vielmehr kann dazu irgend 

 eine beliebig- angenommen werden. Bezeichnet man 

 nun dem obigen gemäss mit <p o und <p u die demjenigen 

 Durchschnittspuncte angehörigen Winkel, welchen, in 

 beiden Spiralen gezählt, derselbe Werth zukommt (was 

 bestimmt ist, so bald die Constanten p, q, /?', q' gegeben 

 sind), so hat man successive 



cp'i = cpi -+- 2z cp'_ | = cp_\ — In 



cp'2 = cp2 + '±71 Cp'_2 = Cp_2 — bit 



V'3 = <P3 + 6.T <p'_3 = yj 3 — 6;r 



Daraus geht hervor, dass die Durchschnittspuncte der 

 beiden Spiralen so vertheilt sind, dass der Unterschied 

 der einem und demselben Durchschnittspuncte zuge- 

 hörigen Winkel , wenn derselbe einmal in der einen 

 und dann in der anderen Spirale gezählt wird, bei 

 jedem folgenden Durchschnittspuncte um eine ganze 

 Peripherie grösser wird. Man erhält nämlich leicht 



2p'.T . . 2/).T 2p'7I , _ 



<■/>„ — <Pi._i =— — -, ; <p n — v „_i = — — 



p — p' P — P p — V 



worin das ausgesprochene Gesetz liegt. Sind z. B. 

 zwei gleichgewundene Spiralen so beschaffen , dass 

 vier ihrer Durchschnittspuncte auf der te ", l ,eu , 2 le ", 

 3 teu Windung der einen Spirale liegen, so liegen die- 

 selben Puncte in der anderen Spirale auf der tc ' 1 , 2 te ", 

 4 te ", 6 te " Windung. Oder nimmt man zwei gleiche, 

 aber entgegengesetzt gewundene Spiralen an, welche 

 immer auf jeder Windung zwei Durchschnittspuncte 

 besitzen, so liegen die Puncte, welche in der einen 

 Spiralen sich resp. auf der ,e ", ,en , l ten , T", T" 

 Windung befinden, in der anderen Spirale der Reihe 

 nach auf der ,e ", - l te ", _ l te ", - 2 te ", — 2 ,en Windung. 



