Durege, mathematische Mitthcilungen. 3(J9 



Durch die sämmtlichen Uurchschnittspuncte der 

 beiden Spiralen I und II kann man nun aufs Neue 

 logarithmische Spiralen hindurchlegen. Ist 



III) q" = q" -+- p* • cp" 



die Gleichung einer solchen, so müssen p" und q" so 

 bestimmt werden können , dass für jeden Werth von 

 n zugleich 



Qn = Q n und cp'n — cp -+■ 2»J.T 



werde, wo m wiederum eine ganze Zahl oder Null 

 bedeutet. Man erhält aber, wenn man in die Gleichung 



p„ = q" + v" (v.i ■+ 2m») 

 die Werthe (6) von Q n und tp n substituirt, 



pq' — p'q 2pp' • tut . q' — q , „ 2p' nx a ' 



— — '- 4- — = q" 4- p - 4- p — ; -+■ 2p" • mn, 



P — P P—P' P—P' P—P 



welche Gleichung für jeden Werth von n erfüllt sein 

 muss. Steht nun m in keiner Verbindung mit n, so 

 erhalt man daraus nur wieder die beiden ersten Spi- 

 ralen. Ist aber m ein Vielfaches von «, also m = An, 

 so erhält man die beiden Gleichungen 



^'-P'" =q "+ p ^-zl ; wL-JEVL+w 

 ]> — p' p — p p — p p — p 



aus welchen sich 



(7) p" = PP ' ■ q" = V' + X <P — P') 



p'+Mv — p')' p'q + *(pq' — p'q) 



ergiebt. Hieraus folgt, dass man durch alle Durch- 

 schnittspunete zweier beliebiger logarithmischer Spi- 

 ralen, die denselben Pol haben, unendlich viele andere 

 logarithmische Spiralen hindurch legen kann, deren 

 Bestimmungsstücke aus den Ausdrücken (7) hervor- 

 gehen, wenn man k alle ganzzahligen Werthe zu- 

 ertheilt. Für die Werthe k = und k = 1 erhält man 

 die Spiralen I und II selbst. 



