81(1 Dnri'#e, mathematische Mittheilungen. 



Heben wir nun aus allen diesen Spiralen irgend 

 eine heraus, welche einem beliebigen, von und 1 

 verschiedenen, Werthe von A zugehört, und bezeichnen 

 dieselbe, wie vorhin, durch 



III) q" = q" + p" • cp", 



so ist für die allen drei Spiralen gemeinschaftlichen 

 Durchschnittspuncte (p' n = y n -+- llnn. Diese Puncte 

 haben alse folgende Winkel : 

 in der Spir. I gezählt .... <p- 2 , q>_ t , <■/><,, vi, <Z>2. 



» » „ II » .... cp_ 2 -\n, \p_ i -27t, cp ,cpi + 2x, r/> 2 + 4^, .... 



» » » III » \...Cp_2-b\7t, Cp_l-2).X,Cp ,Cfl + 2}.7l,(p2-\-täff i ..., 



Betrachten wir jetzt aber die beiden Spiralen I und III 

 für sich und bezeichnen die ihren Durchschnittspuncten 

 zugehörigen Winkel, in der Spirale 1 gezählt mit 



^_2, «(Li? <I>o, ^i, t/>2, ? so ist für irgend 



einen derselben, i}> t gemäss (6) 



_ q" — q + 2p"kx 

 ^ k p - p" 



oder, wenn man darin die Ausdrücke (7) für p" und 

 q" substituirt, 



p—p' 

 Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem (6) für 

 <p w , so ergiebt sich, dass jedesmal, und nur dann, 

 ip = tp n ist, so oft k = nk ist. Unter den Durchschnitts- 

 puncten der Spiralen I und III gehören also nur die- 

 jenigen auch der Spirale II an, für welche k ein Viel- 

 faches von A ist, und daher liegen zwischen je zwei auf 

 einander folgenden Durchschnittspuncten, die allen drei 

 Spiralen gemeinsam sind, noch A — 1 Durchschnitts- 

 puncte, die nur den Spiralen I und III angehören. 

 Z. B. zwischen den Puncten, welche den Werthen 

 und 1 von n zugehören. liegen diejenigen Durch- 



