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schnitte der Spiralen 1 und III, welche den Werthen 

 1, 2, 8, • • •• A — - l von k entsprechen. In ähnlicher 

 Weise ergibt sich aus der Vergleichung irgend zweier 

 Spiralen, welche den Werthen A t und A 2 von A ange- 

 hören, wo A2 > Aj sei, dass diese Spiralen sich zwi- 

 schen je zwei auf einander folgenden, allen gemein- 

 schaftlichen, Durchschnitlspunclen noch in A 2 — A t — 1 

 Puncten schneiden. In Fig. 2 treuen sich z. B. die 

 beiden Spiralen für A = — 2 und A = 4 zwischen P 

 und P' in 5 Puncten, welche mit 1, 2, 8, 4, 5 be- 

 zeichnet worden sind. Je zwei Spiralen dagegen, 

 welche zweien auf einander folgenden' Werthen von 

 A angehören, schneiden sich nur in den gemeinschaft- 

 lichen Durchschnittspuncten und in keinen anderen. 



Die durch die Reihenfolge der Zahlen A bedingte 

 Aufeinanderfolge der Spiralen tritt noch deutlicher 

 hervor, wenn man die Tangenten untersucht, welche 

 man in einem der gemeinschaftlichen Durchschnitts- 

 puncte an sämmtliche Spiralen legen kann. Es sei 

 (Fig. 3) P einer der gemeinschaftlichen Durchschnitts- 

 puncte, der gemeinschaftliche Pol. Auf den Ra- 

 dius Vector PO errichte man in O die Senkrechte ON 

 (die Polarsubtangente) und lege in P an alle durch P 

 hindurchgehenden Spiralen Tangenten , welche die 



Senkrechte OA in den Puncten L , Li, L 25 



schneiden mögen. Es seien PLo und PL X die Tan- 

 genten an die Spiralen I und II, und PL X die Tangente 

 an die einem beliebigen Werthe von A zugehörige 

 Spirale III. Bezeichnen ferner yo? V\-> Yx die Winkel, 

 welche diese Tangenten mit der Senkrechten üi\ 

 bilden, so ist bekanntlich 



P = t(JYu P' = ''/}'i, /'" = '9-7^ 



