314 Dtirege, mathematische Mitlheilungen. 



Den Tangenten PLo, / J L,, PL2, entsprechen die 



Geraden uO, vi, v2, , der Polarsubtangente ent- 

 spricht die Abscissenaxe und dem Radius Vector die 

 Ordinate des Punctes v. 



Aus dem Vorigen ergibt sich , dass die sämmt- 

 lichen Werthe einer Potenz geometrisch dargestellt 

 werden durch die sämmtlichen Durchschnittspuncte 

 zweier logarithmischen Spiralen, nämlich durch irgend 

 zwei aufeinander folgende aus der durch die Gleichung 



(5) dargestellten Schaar. Nur in dem Falle, dass der 

 Exponent reell ist, degeneriren beide Spiralen in den 

 nämlichen Kreis. Derselbe hat dann den Radius a*, 

 und den Anfangspunct zum Mittelpunct, und die Ra- 

 dien Vectoren der Potenzpuncte bilden mit der Ab- 

 scissenaxe die Winkel x{a + 2rar). 



Man kann aber auch die umgekehrte Aufgabe 

 lösen; nämlich, wenn irgend zwei um denselben Pol 

 gewundene logarilhmische Spiralen gegeben sind , so 

 kann man immer eine Potenz bestimmen, deren sämmt- 

 liche Werthe durch die Durchschnittspuncte der ge- 

 gebenen Spiralen geometrisch dargestellt werden. 

 Denn, sind 



p => log r = q -+- p • cp ; q = log r = q' -+- p' • cp 



die gegebenen Spiralen, so darf man nur die Werthe 



(6) den Ausdrücken (3) für jeden Werth von n gleich 

 setzen. Dann erhält man die Basis u = a (cos u = i sin a) 

 und den Exponenten v = x + iy der gesuchten Potenz, 

 wenn man aus den Gleichungen 



, p</' — v'<i pp' 



x log a — yu = — ^~~ y = — — ■ 



P — P P — P 



1 t 9' — <1 P' 

 y loa a + xa = X = ; 



P - P P — P 



die Werthe von x, ?y, log a und a bestimmt. — Auf 





