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von ö, so ist ■- = 1 ; die vorige Zahlenreihe verwan- 

 delt sich dann in die aller ganzen Zahlen, und daher 

 gehen durch diejenigen Durchschnittspuncte der Spi- 

 ralen A und i + Ä, für welche h ein Vielfaches von ö 

 ist, sämmtliche Spiralen hindurch, wie wir diess auch 

 schon früher gefunden haben. Ist ö' ein Vielfaches 

 von ö, so wird der Gleichung (10) für jeden Werth 

 von k genügt, wenn k' das gleiche Vielfache von k ist. 

 Daher gehen die Spiralen, welche den Zahlen 



X, X ±Ö , H2d, X±3Ö, 



angehören, durch alle Durchschnittspuncte der Spiralen 

 A und A 4- Ö hindurch. 



Beispiele zu dem Vorigen zeigt die Fig. 2, in 

 welcher im Puncte 3 die Spiralen X = 2, X = o, A = 2,A =4 ; 

 in den Puncten 2 und 4 die Spiralen X = — 2, A=l, A = 4, 

 und im Punkte c die Spiralen A = — 1, A = 1, A = 3 

 zusammentreffen. 



7. 



Auch die von den Spiralen eingeschlossenen 

 Flächenräume bieten eigenthümliche Verhältnisse dar. 

 Der Sector einer logarithmischen Spirale vom Pole 

 an bis zu einem beliebigen Puncte P der Spirale ist 

 bekanntlich gleich der Hälfte des rechtwinkligen Drei- 

 ecks POL x (Fig. 3), welches von dem Radius Vector 

 PO, der Polarsubtangente OL x und der Tangente PL X 

 gebildet wird. Wir wollen nun für P einen der allen 

 Spiralen gemeinschaftlichen Durchschnittspuncte neh- 

 men und den in der Spirale A genommenen Sector mit 

 S x bezeichnen, so ist 



S o = ±P0L o , S l = ±POL 1 , S 2 =^POL 2 , etc., 



wobei wir diejenigen Sectoren und Dreiecke als po- 

 sitiv annehmen wollen, welche auf derjenigen Seite 



