Denzler, Auflbsuug der buhern numerischen Gleichungen. 385 



§ 1. 



Vorerst zeigen vir zum Zwecke der Rcduclion der Auflö- 

 sung einer Gleichung mit eomplexen Coefficieulen auf die einer 

 Gleichung mit reellen Coefficienlen, dass, wenn m(cosy -f-i sin tp) 

 eine Wurzel der Gleichung: 



\" + r,(cos ß, + i sin ß,) x n-1 + r 2 (cos/? 2 4- i sin ß 2 ) x" -2 + . . . . 



. . . + r n (cos/? I1 + isin/J ll ) = 1) 



alsdann nolhvendig m(cos y — i sin cp) eine Wurzel der Gleichng 



x" + r,(cos ß, - i sin /?,)x" -J + r 2 (cos ß 2 - i sin ß 2 )\ n ' 2 + . . . 



. . . . + r n (cos ß n - i sin ß a ) = 2) 



sein muss. Nach der Voraussetzung und dem Moi vre 'sehen 

 Lehrsatz hat man folgende Gleichung: 



m"(cos nep + i sin n<p) + r,m n_1 [cos (ß,-h(n-i)cp)+\ sin (/?, -Hn- 1 )<?)] + 

 -+- r 2 ni"" 2 [cos {ß 2 + fn-2) cp) + i sin {ß 2 + (n-2) cp)]+... 

 . . . + r„ (cos /?„ + i sin /?„) = <> 



woraus sich sofort auf das Stattfinden >on folgenden 2 Relatio- 

 nen schliessen lässt : 



m" cos nrp + r,m n_1 cos (ß, -f (n-1) cp) + v 2 m" -2 cos {ß 2 + (B-2) cp) + ... 



. . . -+- r„ cos ß n = 



m" sin n</> 4- r, m"~ J sin {ß,+ (n-h<p) -f-r 2 m"~ 2 sin(/?2+(n-2)<p) +... 



. . . + r„ sin ß B = 



Multijdicirt man nun die 2 ,e Gleichung mit i und zieht das Er- 

 gehniss von der ersten Gleichung ab, so ergibt sich nach An- 

 wendung des vorhin erwähnten Lehrsalzes , dass 



m"(cos cp — i sin cp)" + r,m n_i [cos ß, — i sin/?,] [cos cp — i sin <p] 1 *" 1 4- 

 -+- r 2 ni" -2 (cos ß 2 — i sin /?j)(cos cp — i sin cp) n ~ 2 + . . . 

 . . . -+- r n (cos ß n — i sin ß n ) = 



Da nun diese letztere Gleichung auch aus der Setzung von 

 rn(cos<p — isintp) für x in die Cleichung 2) hervorgeht, so ist 

 damit unsere Behauptung erwiesen. 



Hieraus folgt jetzt sofort, dass unter den 2n Wurzeln der 

 Gleichung 



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