388 Denzler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen. 



Gleichung sämmlliche Exponenten zu x durch m dividirt. Dass 

 bei der Bildung des Produktes aus den ersten Theilen der Glei- 

 chungen 6), 7) und 8), welches offenbar eine ganze rationale 

 algebraische des mn ,e " Grades ist, alle die Glieder, deren Ex- 

 ponenten nicht vielfache von m sind, Nullen sein müssen, mit- 

 hin nicht berechnet werden müssen, wird sogleich klar, wenn 

 man die oben erwiesene Identität und ausserdem erwägt, dass 

 die ganze Funktion des mn'"' Grades, die = dem ersten Theil 

 von 10) ist, gewiss keine von verschiedene Glieder haben 

 haben kann , bei welchen der Exponent zu x sich nicht durch 

 m ohne Rest theilen lässt. 



Die Gleichung, deren Wurzeln die 2 te " Potenzen der Glei- 

 chung 6) sind, ergibt sich demnach, indem man das Produkt 



n 

 [x n + aix u - 1 +a 2 x"" 2 + . . . a n ][x n -a,x ,l - 1 -r- a 2 x n ^ — ... + ii*a n ] 



in eine ganze Function des 2n le " Grades verwandelt, hierauf 

 sämmlliche Exponenten zu x in der erhaltenen Function durch 

 2 dividirt, und endlich die aus diesen Divisionen entspringende 

 Function des n teu Grades gleich Null setzt. Führt man diese 

 Operationen aus, so ergibt sich, dass der s te Coefficient in der 

 Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate von den Wurzeln der 

 Gleichung 6) sind, gleich folgendem Produkte ist: 



(— l) s [o| — 2« s _,a s+1 + 2a s _ 2 a s+2 — 2a 1 _,«, +3 + ] 



wo die eingeklammerte Summe mit regelmässig abwechselnden 

 Vorzeichen so weit fortzuführen ist, bi$ man endlich ein dop- 

 peltes Produkt gesetzt hat, bei welchem ein Factor der Coef- 

 ficient von x° oder von x" in der Gleichung G) ist. Hat man 

 nun die Gleichung hergestellt, deren Wurzeln die Quadrate der 

 Wurzeln von 6) sind, so kann man auf gleiche Weise aus der 

 gefundenen Gleichung die Gleichung bilden, deren Wurzeln die 

 Quadrate ihrer Wurzeln oder die (2 2 ) ten Potenzen der Gleichung 

 6) sind; und so kann man fortfahren, um zuletzt zu einer Glei- 

 chung zu gelangen , deren Wurzeln solche Potenzen von den 

 Wurzeln der Gleichung 6) sind , bei welchen der Exponent aus 

 der Potenzirung von 2 mit irgend einer positiven ganzen Zahl 

 hervorgeht. 



