40(i Donzier . Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 



Aber aus der Bedeutung von «u» 4 z folgt sehr leicht , dass 



«t,m iz = ©(") i>-'" (wo S zwischen und 1) 40) 



Vergleichen wir nun die in 10) und 39) angegebenen Ausdrücke 

 für ät )n ,.| Z , so finden wir sofort, dass, venu g die Zahl £ 

 übersteigen könnte, es immer einen Werlh von z gäbe, bei 



welchem (^j £„ weil grösser als 6>(") wäre, -was natürlich 



nicht sein kann. Wir sehen also , dass , wenn g nicht inner- 

 halb der Grenzen (1 ■+- 1,31 4.10"*- 2 ) und (1 —1,844 10- r -2) liegt, 

 dieses g sicher nicht über der obern Grenze , mithin uuter der 

 untern Grenze liegen muss. 



Dass t bei dem im Lehrsatz vorausgesetzten Coefficienlen 

 «t,m einer der Zahlen si, S2 . . . s„ gleich sein kann, ist nach 

 dem 'Vorhergehenden für sich klar, dass aber l auch verschie- 

 den von jeder dieser v Zahlen und zugleich «t,m dem Werlhe 

 nach zwischen (1 + 1,344 10- r " 2 ) p 2 '" und (l — 1,314 10~ r - 2 ) p 2 ™ 

 sein kann , zeigt folgende Gleichung : 



x 8 — 2lx 7 + 120\ 6 — 100x ; 4-0.x'-x3-|-21x 2 — 120x + 100 = 41) 

 In dieser Gleichung, deren Wurzeln 



10 , 10 , 1 , 1 , cos |.t +. i sin | .t und cos | n +. i sin * * 

 sind , ist v = 2, ni = 2, D2 = n„ = 6, s J = 2 und S2 = s„ — 8, 

 und für r = 12 wird k = 4 , da 



3 < ^[lg[ll+lg(S)]-lg.lg.l0]<4 



Bildet man nun die 4 ,e Quadratgleichung zu 41), so zeigt sich, 

 dass der 3 te und 7 te Coefficient zwischen den oben erwähnten 

 2 Grenzen liegt, und sämmtliche von «t,m vorausgesetzte Ei- 

 genschaften besitzt, jedoch 3 und 7 verschieden von si und S2 

 oder 2 und 8 sind. Man sieht sogar, dass jetzt «3,0, d.i. der 

 3 te Coefficient in 41) selbst alle diese Eigenschaften besitzt, und 

 zudem nicht bloss zwischen jenen 2 Grenzen liegt, sondern 

 genau = (Wj W 2 W 3 ) 2 ° oder = 10 . 10 . 1 ist, und diese voll- 

 kommene Genauigkeit in allen Quadralgleichungen zu 11) bei- 

 behält. 



