410 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 



B e w e i s. 



Es ist bekanntlich , wenn uj , o> 2 , . . . «>„ die Wurzeln der 

 Gleichung 12) sind, «„ = (— 1)" wi o>2 . . . w n . Sind nun m 

 dieser n Wurzeln reell und negativ, so ist, wie man leicht fin- 

 det , »i «8... . »„ = (— 1)" Wj, mithin «„ s= (- l) m+n Wj, 

 und daher (— l) m+n «„ = W". Da nun W" eine positive Zahl, 

 so ist auch ( — i) m+ " « n positiv und daher gleich a n a n . Hieraus 



folgt, dass «,, a„ = W" und somit die zu beweisende Gleichung 

 Statt findet.^ 



Setzen wir zur Begründung der 2 ,e " Behauptung in die 



Gleichung 2G) \Va n a„ für x und dividiren hierauf auf beiden 

 Seiten durch \_fa„ a„J oder cc„ a„ , so erhallen wir, wenn wir 



der Kürze wegen Wi statt fa a a a setzen , folgende Gleichung 



^ Wj Wi 2 ' ' W.-"~ J S ~ 



• i 

 i 



Ist nun der Modulus von jeder der reellen und imaginären Wur- 

 zeln = Wj , und sind die Zahlen, mit welchen Wi multiplicirl 

 die Wurzeln der Gleichung 12) geben: ai , 32 , . . . a„, so sind 

 offenbar diese letztem Zahlen zugleich die Wurzeln der Gleichung 

 44) und entweder gleich -t- 1, oder gleich — 1, oder conjugirle 

 Paare von imaginären Wurzeln , deren Mudulus gleich 1 ist. 

 Bringen wir nun, voraussetzend, dass unter den Wurzeln 

 ai, a2, • • • a„ wenigstens 2 gleich 1 , wenigstens 2 gleich — 1, 

 und überdiess imaginäre Wurzeln sich befinden, von den sämml- 

 lichen n Differenzen x — ai, x — a2, .... x — a„ alle diejeni- 

 gen Paare in eine Gruppe, deren Subtrahenden conjugirte ima- 

 ginäre Wurzeln sind, dann alle Paare, bei welchen der Sub- 

 trahend = 1 ist, in eine 2" Gruppe, ferner alle Paare, deren 

 Subtrahend = — 1 , in eine 3 ,e Gruppe, so wird nach der Bil- 

 dung aller dieser Gruppen entweder 



