412 Denzlcr, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen. 



zen zu erhalten, schliesslich ein Polynom von der Form 45) mit 

 x 2 — 1 zu multipliciren , wodurch man ein Polynom der Form 



x 2 " ,+2 + p,x 2 "" J + p 2 x2 m + . . . 0.x m+i + . . . -p 2 x 2 - p,x-l 58) 

 erhall , wo die Coefficieulen an den Enden und gleichweit von 

 den Enden dem absoluten Werthe nach gleich , aber einander 

 entgegengesetzt sind und der mittlere Coefficient jedenfalls 

 = ist. 



Der vorstehende Beweis ist offenbar auch dann noch zu- 

 lässig, wenn von den drei im Eingange erwähnten Gruppen 

 eine oder zwei keine Diflerenzen enthielte. Würden aber für 

 keine dieser drei Gruppen Paare von Differenzen vorhanden 

 sein, dann wäre die Behauptung des Lehrsatzes für sich klar. 

 Bedenken wir endlich, dass das Produkt aller dieser Dif- 

 ferenzen mit dem ersten Theil von M) congruiren muss, so 

 wird nach dem Gesagten die Gleichung 44) eine reeiproke sein, 

 die im ersten der angeführten Fälle sich auf eine Gleichung Mim 



n te " n-l ,£U 



- Grade, im zweiten und drillen auf eine vom -=- Grade, 



n-2 te " 

 im vierten Falle auf eine Gleichung vom — - Grade reduciren 



lässt, und jede aus dieser Reduclion entspringende Gleichung 

 wird dann, da die Summe aus einer Complexen mit dem Mo- 

 dulus 1 und ihrem reeiproken Werlh reell ist, gewiss nur reelle 

 Wurzeln enthalten können. 



§• 5. 



Kennt man von einer gegebenen Gleichung 12) , für welche 

 man die Moduli der Wurzeln bis zu irgend einem Gliede, z.B. 

 bis zum (r + 1)"" Gliede herab bestimmen will, die Grenze q, 

 unter welcher kein Quotient aus einem der Moduli durch den 

 nächst kleinern liegt ; kennt man ferner die Anzahl (v) der ver- 

 schiedenen Moduli und überdiess die Zahlen nj, n 2 u r , 



welche beziehungsweise ausdrücken, wie viel mal jedes Glied 

 in der Reihe der v verschiedenen Moduli als Modulus bei den 

 sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 12) erscheint, so wird 



