90 Denzler , Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 



hervorgeht, eine solche reeiproke Gleichung ist, wie sie im 

 Lehrsatze besehrieben ist. Die 2 U ' Behauptung unsers Lehrsatzes 

 geht sofort aus dem Bewiesenen und der hekannten Eigenschaft 

 der Wurzeln von reciproken Gleichungen hervor. 



Beweis zu II. T, ist gewiss nur dann identisch Null, wenn 

 alle y Nullen, also nach den Gleichungen 71) 



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1 — « 2n W 2n = , mithin \V = ^« 2n a 2n 



«|-- a 2n- 1 W " (2n " 2) = ' milhin «lW- 1 = a 2n . 1 W( 2 "- 1 ) 

 u. s. f. 

 wenn daher die Gleichung 80j , die aus der im Beweis zu I) 

 erwähnten Substitution hervorgehl, eine solche reeiproke Glei- 

 chung von geradem Grade ist, wie sie der Lehrsatz beschreibt. 

 Hieraus folgt denn auch mit ßeiziehung der bekannten Eigen- 

 schaft von solchen reciproken Gleichungen die 2 te Behauptung 

 des Lehrsatzes. 



Beweis zu III. Der Kürze wegen setzen wir den Faktor 

 von (Z — Z- 1 ) in 77) gleich f(l,u); alsdann ist nur nach der Ab- 

 leitung der Gleichung 77) 



T, = yf(t,n) + y^V^flt,!!-!) + y 2 W- 2 f(t.n-2) + . . . y n .,W^HM) 

 Nun ist nach der Bedeutung von f(t,n) 



f(2,m) = 2™" 1 - (m-2)2 m " 3 -f- ( m -3)(^- 4 ) jiM _ 



(m — l)(m-5)(m — 6) m . 7 



TT^Tä a + 



mit Weglassung der Glieder , welche Potenzen von 2 mit nega- 

 tiven Exponenten enthalten ; überdiess ist 



f(-2,m) = (— tr^f^m) 

 Aber die Reihe f(2,m) ist genau = der Zahl m, so lange m 

 eine positive ganze Zahl bezeichnet; denn für m = 1, 2, 3 

 wird die Richtigkeit dieser Behauptung sofort erkannt, und wenn 

 die Gleichung f(2,m) = m für m = p — 2 und p — 1 als rich- 

 tig vorausgesetzt wird , so hat es nicht die mindeste Schwierig- 

 keit darzuthuu. dass sie auch für m= p gilt; man findet näm- 

 lich sehr leicht , dass 2f(2,n — 1) - f(2,n - 2) = f|2,n). 



