92 Deniler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen. 



oder vermöge der Gleichungen 71) 



= yn - (n - lJWV, + (n - 2) Wy 2 -...(- 1 f* W^y^ 

 oder gemäss «lor Gleichung 82) = (— l)*" 1 T. a ist, sicher nicht 

 gleich Null , und daher auch T_ a nicht = 0. Ebenso findet 

 man, dass, wenn \V nicht mehr als einmal unter den Wurzeln 

 zu 69) vorkömmt, T 2 nicht sein kann. Hieraus folgt offenbar 

 noch, dass in jedem dieser 2 Fälle die Gleichung 77) in Folgende 

 übergeht : 



Z - Z" 1 = 



Beweis zu IV. Vorerst bemerken wir, dass bei den Vor- 

 aussetzungen unsers Lehrsatzes T, nicht identisch Null sein kann ; 

 denn wäre diess der Fall , so müssten nach dem Lehrsatze 1) 

 die sämmtlichen 2n Wurzeln zu 69) sich so in 2 Gruppen mil 

 gleichvielen Wurzeln bringen lassen, dass die durch W gelheil- 

 ten Wurzeln der einen Gruppe genau die reeiproken Werlhe 

 von den durch W gelheilten Wurzeln der andern Gruppe wä- 

 ren, was natürlich nicht sein kann, wenn die Anzahl aller der 

 dem W gleichen Wurzeln unter den 2n Wurzeln zu 69) unge- 

 rade ist. 



Will man nun den Beweis unsers Lehrsatzes ohne Zuzie- 

 hung höherer Differenzialquolienlen geben , so denke man sich 

 von den z. B. der Zahl W gleichen (2q 4- 1) Wurzeln zu 69) 

 2q derselben so beschaffen, dass die q ersten davon unter sich 

 angleich, aber alle unendlich nahe an W sind, und die W ,e " 

 Theile der übrigen genau mit den reeiproken Werlhen von den 

 W te " Theileu jeuer q ersten übereinstimmen. Bei dieser Auf- 

 fassung wird der Lehrsatz auf den vorhergehenden reducirl , 

 wenn man hiebei noch beachtet, dass unter den Voraussetzun- 

 gen des Lehrsatzes III), wenn S t nicht identisch 0, t — 2 oder 

 t ■+■ 2 in Folge der Ableitung der Gleichungen 78) und 79) ein 

 Faktor von S t sein muss. 



Aus diesen Lehrsätzen ergibt sich nun folgendes Begulativ 

 für den Gebrauch der Gleichungen 78j und 79) : 



1 ) Wenn S t bei einem bestimmten W für jeden Werth von 

 1 = und u > 1, so ist die Gleichung T, = vom (n — l) te " 



