Donzler, Auflösung der Imliern numerischen Gleichungen. 98 



Mulliplication dieser Gleichung mit \ -l- entsteht« |),i wir 

 aber in unserer Aufgabe die Bestimmung <ler Modali von den 

 Wurzeln irgend einer Gleichung als bekannt voraussetzten , so 

 werden wir, wenn uns die Auflösung der aus jener Eeduction 

 entstandenen Gleichung auf keine einfachere Weise möglich ist, 

 zuerst die Moduli der so entstandenen Gleichung berechnen, 

 und alsdann diese wieder so behandeln, wie die Gleichung 69). 

 Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens müssen wir 

 zuletzt zu einer Gleichung gelangen , die wir vollständig auflö- 

 sen können, und dadurch werden wir dann auch offenbar in 

 den Stand gesetzt, successive die frühern Reductionsgleichun- 

 gen und endlich auch die ursprünglich vorgelegte Gleichunjj 

 selbst vollständig aufzulösen. 



Mau könnte jetzt noch fragen , wie sich die Gleichung 

 Z + Z" 1 = t in dem Falle, da man für t imaginäre Wurzeln er- 

 hält, am kürzesten algebraisch auflösen lasse. Wir antworten 

 hierauf mit Folgendem : 



Bezeichnen a, b, ai, l>i reelle Zahlen , nicht ausgeschlos- 

 sen . und i>l 



j/|[a 2 — b 2 - 4ai -+• ^(a 2 - b 2 — 4aj) 2 + 4(ab - 2bi) 2 ] = A 



^-i[a 2 - b 2 - iai - K(a 2 - b 2 — 4a*) 2 + 4(ab - 2b,) 2 ] = B 



wo die vorkommenden Wurzelgrössen alle in positivem Sinne 

 zu nehmen sind , so gehen aus der Gleichung 



Z 2 + (a + bi)Z -+- ai + bii = 

 stets folgende Gleichungen hervor: 



Z = |(- a + A -f (- b + a b- 2b iB)i) | 

 Z = J(-a - A + t-b — ab-2biB|i) j 



wo ab 2bi die positive Einheit bedeutet, wenn ab — 2bj posi- 

 tiv oder ist, hingegen die negative Einheit, wenn ab — 2b] 

 negativ wäre. 



Wir schliessen die Auflösung unserer Aufgabe mii folgenden 

 Beispielen : 



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