Denzler , Auflösung der hohem numerischen Gleichungen 97 



mit den Wurzeln 1. \a . 'la" 1 , 2a, 8a" 1 , 8a, 2a" 1 , 0, wo a = 



2 2 



cos -* -+- i sin -.t, rar w = 1 angewendet, so erhält man: 



l* — 1083t 5 -+- 63U 2 4- 1 1109t + 18!)l = 

 (Z — Z-') [t 3 -+- 11091« - 388t - 4937 = 

 Hier zeigt sich, dass S, und T, keinen gemeinschaftlichen Fak- 

 tor besitzen, dagegen die erste dieser 2 Gleichungen nach der 

 Substitution von Z -+- Z- 1 für t mit der Gleichung Z — Z- J = 

 die gemeinschaftliche Wurzel 1 hat. woraus sofort folgt, dass 

 die gegebene Gleichung die Zahl WZ oder 1 . 1 einmal als Wur- 

 zel enthält. 



IV. Bringt mau auf die Gleichung 



x 6 — 28x 5 -H 27 = 

 mit den Wurzeln 3a, 3a-i, a, a" 1 , 1,3, wo a == cos - .? -H 



3 



2 



i sin -x die Gleichungen 78) und 79) für W = 1 in Anwendung, 



so gehen diese : 



l 3 — 31 - 2 = 



(Z - z-'Ht 2 - t =o 



Jetzt ist der grösste gemeinschaftliche Faktor für S, und T, = 

 t — (a-h a" 1 ) = t -(- 1 , der sogleich die beiden Wurzeln a und 



a" 1 für die gegebene Gleichung darbietet. Aber man darf nicht 

 unlerlassen, wie vorhin, zu untersuchen, ob die Gleichungen 

 (Z + Z- l p — 3(Z + Z- 1 ) T 2 = i 



z - z- 1 — t 

 eine gemeinschaftliche Wurzel besitzen : und da findet man so- 

 fort, dass sie die gemeinschaftliche Wurzel 1 haben, mitbin 

 1 . 1 auch eine VA urzel der gegebenen Gleichung sein muss. 



g. s. 

 Aus dem Vorhergehenden ergibt sich das Verfahren, nach 

 welchem man zu sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 



x" + ajx"" 1 -f a 2 x""' -h . . . . a„ = 84) 



Näherungswerthe erhalten kann. Wir wollen jetzt noch in 

 Kürze die wichtige Frage erörtern, wie sich diese Näherungs- 

 werte verbessern lassen. 



