364 Kiukeliu, die schiefe axoiioruclrisobe Hrojeklinn. 



falls keine Schwierigkeiten dar, w enn man b emerkt, 

 dass der Ausdruck r cos L ± ^a 2 - - r'* sin 2 L die 

 dritte Seite eines Dreiecks ist, von welchem a und r 

 zwei Seiten und L der Gegenwinkel von a ist. 



Aufgabe III. 



Man soll untersuchen, wie viele reelle 

 Dreibeine einer beliebig angenommenen Pro- 

 jektion entsprechen. 



Die Realität von r 2 aus (8) erfordert lediglich, dass 



A 2 - 4 B 2 ^ 



d. h. es muss 



(a 2 + b 2 -+- c 2 ) 2 — 4 (b 2 c 2 sin 2 a -+- c 2 a 2 sin 2 /? + a 2 6 2 sin 2 y) ^ o. 



Der Ausdruck linkerhand ist leicht auf die Form 

 zu bringen 



a* 4- b* + c* 4- 2 6 2 c 2 cos 2 a 4- 2 c 2 a 2 cos 2 /? -f- 2 a 2 fc 2 cos 2 y 



oder weil a + ß +• y = 360o und daher 



cos 2 a = cos 2 /? cos 2 y — sin 2 /? sin 2 y , 



(a 2 + b 2 cos 2 y 4- c 2 cos 2 /?) 2 4- (b 2 sin 2 y — c 2 sin 2 ßf 



welches in der That immer gleich oder grösser als 

 Null ist. Für ersteres wird erfordert, dass 



a 2 4- b 2 cos 2 y 4- c 2 cos 2 ß = o und 6 Z sin 2 y = c 2 sin 2 ß 



d. h. dass mit 3 Geraden, welche bezüglich propor- 

 tional mit a 2 , 6 2 , c 2 sind, ein Dreieck konstruirt wer- 

 den kann, dessen Winkel bez. gleich 2« — 180°, 

 2 ß — 180o , 2 y — 1800 sind. In diesem Fall ist also 



±i = 2 ß, r 2 = — , cos <p = 1 



d. h. die Projektionsrichtung ist senkrecht zur Pro- 

 jektionsebene. Man hat alsdann die gewöhnliche 

 senkrechte axonometrische Projektion. 



Aus der Realität von r 2 folgt auch die von cos <p. 



