33 |. METHODE EXEMENTAlRE ETC. 



e'lcmcntaire et dirccte , capable de faire au moins prc'sumer l'exi- 

 Stence de celte nouvclle verite , qui aura probablement unc grande 

 influence sur les applications , ct sur les progivs futurs de la theo- 

 rie des transcendantes elliptiques : espccc de branche modcruc du 

 Calcul Integral, cree'e par M. r Legendre prcsqu'cnentier, et ame- 

 nee par lui-meme a un etonnant degre d'elevation. 



La nouvclle e'chellc de modules donnee en 1825 par M. r Legen- 

 dre dans le Chapitre xxxi de son Traite des fonctions elliptiques 

 renferme le germe des the'oreines de M. r Jacobi. II y a la le pre- 

 mier cas particulier dun thcoreme beaucoup plus e'tendu , ct les 

 secours necessaires pour aller plus loin. ElFectivement , j'ai i*econ- 

 nu que par une methode analogue a celle du Chapitre xxxi on 

 pouvait trouvcr direclement les formules qui constituent le second 

 iheoreme public par M. r Jacobi dans le N.° ia3 du Journal cite 

 plus haut. Dt-s-lors j'ai soupronne que la rai'mc methode devait 

 aussi re'ussir pour les cas ulte'rieurs. Mais la longueur des calculs 

 croit dans une proportion epouvantable , et il fallait trouver une 

 demonstration generate du succes de la methode, sans elre force 

 d'executcr les operations , qui en fournissent la preuvc malericlle. 

 De plus il fallait reconnaltre a priori les proprie'te's caracte'risti- 

 ques des fonctions enlieres et ralionnelles qui doivent satisfaire 

 aux conditions du probleme , envisage dans loute sa generality. 

 Voili le double but que je me propose de remplir dans cet e'erit , 

 afm de faire voir, comment, en re'trogradant de la conclusion vers 

 le commencement , on peut e'tablir a priori la veritable forme des 

 fonctions cherche'es. A' la verite , par ce moyen , on ne decouvre 

 pas la valeur , et encore moins , la forme nouvelle des racines qui 

 reduisent a zero les polynomes en question. Mais on comprendra 

 du moins que e'est vers ce point, a la fois principal et secondaire, 

 qu'il aurait fallu diriger les clforts , apres avoir a'msi reconnu la 

 possibilite de transformer d'une infinite' de maniercs une Iranscen- 

 dante elliptiquc de premiere espece dans uuc autre semblable qui 

 soil avee ellc dans an rapport constant. 



