aSg 



., . ', x'r'" 

 a cos.a a =- ■ 



2 



ttt ' l'I X T 



a COS. a CI = 



. ,, x'y"-x"Y^x\x"-f") 



a^ cos.a a' :^ 



Se si soramauo questi procioni, avvertendo alle posizioni opposte de- 

 gli angoli ira loro , come per esempio di «' rt ' con a a'' , si avrà 



a" cos.a a" ^a"' cosi.a a" -\-a "cos.a a " . . -|- ec. = -;— 



^' ^a 



si troverà egualmente 



a'cos.a'a''-f tt"'cos.a'"a"-|-a''cos.a"«' . . + ec. 



=^a 



ec. 



Ognuna di queste formule dimostra clic 



I/i un poliedro una faccia qualunque è eguale alla somma delle 

 altre faccie moltiplicata ciascheduna pel coseno dell' angolo eh' essa 

 fa colla prima. 



Da questo teorema fondamentale se ne ricavano molti altri come ha 

 fatto Carnot nella sua opera ( Geometrie de Posltion). A noi basta averlo 

 trovato e dimostrato col nostro metodo. 



1 8. Combinando insieme le formule dei ( §§ 5,5 ) che danno le espressioni 

 dei coseni degli angoli che fanno gli spigoli dt'l poliedro tra di loro, e 

 dejili anjioli che fanno tra loro le faccie, si trovano le relazioni che deb- 

 bono aver luogo tra queste due specie di angoli. 



Sieno tre rette ^B, JlC, AD che formano un angolo solido ABCD. 

 Dalle equazioni («■) ((?) («-") ( § 3 ) , unitamente all' equazione 



COS. ABC . ABD = /" ,„ , 



eliminando tre delle coordinate, le altre due svaniranno da loro stesse, 

 come fattor comune , nell' ultimo risultato, e si avrà 



COS. ABC . ABD = '^-^■('^"''"')-^-^-('^''ncos.id'.n 



■ sva.{d'd")sen.{d'd"') 

 la quale dà una relazione tra i tre angoli che formano im angolo solido, 

 ed uno degli angoli che formano tra di loro le faccie che comprendono 

 gli angoli piani. 



19. Collo stesso metodo si possono trovare le relazioni tra gli angoli 



