Amslor's Polarplanimeter. 55 



Die Punkte in den Flächenraumen der ersten Art 

 werden offenbar von der bewegliclien Geraden F C 

 gar nicht oder eine gerade Anzahl Mal, die Punkte 

 in den Flächenräumen der zweiten Art eine ungerade 

 Anzahl Mal durchlaufen. Es folgt hieraus, dass die 

 Summe der in No. 4. durch Z' P 4- Z" s bezeichneten 

 Elemente jetzt nicht mehr den Inhalt der Curve Z, 

 sondern nur die Summe der Inhalte der Flächenräunie 

 zweiter Art darstellt. Hält man aber das in 4, b) 

 über das Vorzeichen von p und s Gesagte fest, so 

 erscheinen die ausserhalb der Kreislinie X liegenden 

 Flächenstücke hiebei offenbar als positive , die im Kreise 

 liegenden Flächenstücke als negative Summanden; d. h. 

 die Summe Z p + Z s ist in diesem Fall die Differenz 

 der von den Curven Z und X begränzten Flächen. 

 Bezeichnet also J den Inhalt von Z , und R = C E 

 den Radius des Kreises X, so ist 



J — R3;r = Zp + Z s (E) 



Man kann sich den Beweis dieser Gleichung an- 

 schaulicher machen, wenn man zuerst annimmt, dass 

 die Curve Z den Kreis X ganz einschliesse. — 



Die Gleichung (B) gilt in dem vorliegenden Fall 



unverändert. 



8. 



In der Gleichung (E) ist 



2: s = r -' Ä. 



Denn die bewegliche Gerade r « F C macht, 

 nach Annahme, eine ganze Umdrehung, bevor sie 

 ihre Anfangslage erreicht. Die algebraische Summe 

 aller von ihr successive beschriebenen Secloren ist 

 daher ein Kreis vom Radius r. Folglich wird die 

 Gleichung (E) 



