tgfi Sidicr. siM iiiie soric al;{ebriqne. 



Si dans requation (8) on developpe le second 

 mcmhre siiivant les puissances de z, on aiira en egalant 

 Ho pari et d'autre Jes coefficients des puissances sem- 

 hlables de z 



(1 + r)'- = 

 (13) = r^') A.,„, - r+l7') A..„.-,...(-1)"'- (^l«-) A...., 



Lorsqu'on remplace dans cette derniere les quantites 

 A,„,i , An.,2 .... par leurs valeurs tirees de (9), on 

 trouvera , eu egard que an,,m-;i-i = a.n ^ 



(I -H r)'" = 



Observant que le coefficient de am.A equant au 

 coefficient de x™ dans le produit (1-x)^ (l— x)^-', 

 cette formule se reduit ä 



(,,) (i+rr = ("r)''".." +("'T')""..'-C)" -. ■■ 



m etant un des nombres 1 , 2^, 3 , 4 . . . et r un nonibre 

 entier positif quelconque inclusivenient zero. 



§. 5. Les equalions (13) et (14) fournissent plu- 

 sieurs formules qui representent les nombres de Ber- 

 noulll sous forme finie. En eff'et , prenons-y succes- 

 sivement r = 0, 1 , 2 . . . et enfin r = k — l , il viendra 

 d'abord 



k 



r=| 



k 





