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230 Haabe, Anwendung der imaginären Zahl, elc. 



welche Gleichuni> weg-en der imaifinären Einheit i in 

 folgende zwei zerfällt: 



R = X cos cf + Y sin a, i 

 = X sin « + Y cos a. ) 

 Man findet hieraus sehr leicht : 



R2 = X2 4-Y2, (3) 



aus der wir zunächst entnehmen, dass die Grösse der 

 Resultirenden dieselbe verbleibt, ob man sich für das 

 eine oder andere der Doppelzeichen in Gleichung (1) 

 erklart. Ferner findet man aus den Gleichungen (2) : 



cos ß == ^, sm cc = — , (4) 



woraus auch die Grösse des Neigungswinkels « un- 

 abhängig von dem Doppelzeichen erscheint. 



Sonach folgern wir, dass man in der Gleichung 

 (I), wie in denen aus derselben gefolgerten (2) ent- 

 weder das obere oder das untere Zeichen allein an- 

 zunehmen berechtiget ist, wenn man nur unter dem 

 Neigungswinkel k, dessen Grösse jede der Gleichungen 

 (4) vollkommen bestimmt, eine positive oder negative 

 versteht, worüber auch jedesmal aus der Beschaffen- 

 heit der Stellungen der Kräfte X und Y ohne Mühe 

 zu entscheiden sein wird. 



Die hier aus (1) gezogenen Ergebnisse, entwe- 

 der die in (2) oder die in (B) und (4), geben das 

 Princip des Parallelogramms der Kräfte ab. 



4. Denken wir uns nun drei zu einander senk- 

 recht stehende Ebenen, in deren gemeinschaftlichem 

 Schnittpunkte ein materieller Punkt m sich befindet. 

 Auf diesen wirken drei Kräfte ein. die bezüglich in 

 den drei Durchschnittslinien der erwähnten drei Ebenen 

 liegen und deren Grössen oder Intensitäten durch eine 



