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lungen aus dem Jahre 1855) , nimmt Bezug auf die Eigenschaft 

 jeder logarilhmischcn Spirale, dass ihre Evolute wiederum eine 

 der Evolvente gleiche Spirale ist , die sich von ihr nur durch 

 die Lage unterscheidet, und durch eine, um den Pol auszu- 

 führende , Drehung um einen gewissen Winkel mit derselhen 

 zur Deckung gelangt. — Auf diese veränderte Lage be- 

 zieht sich sonach auch — hei der logarithmischen Spirale - 

 die Bezeichnung »niutata«. 



Ich habe mir die Aufgabe gestellt, diejenigen besonderen 

 logarithm. Spiralen zu bestimmen, deren Evolute mit der Evol- 

 vente unmittelbar zusammenfallt, so dass man für sie im vollen 

 Sinn des Wortes »immutata« schreiben konnte. 



Heissen Radius vector und Winkel mit der Polaraxe für 

 die Evolvente r und v, für die Evolute ö und y ; der je einen 

 Punkt M der Evolvente mit einem Punkte /.i der Evolute ver- 

 bindende Krümmungsradius (der in ersterem Normale, in letz- 

 terem aber Tangente ist,) sei q ; die normal zum Radius vec- 

 tor r gelegte Subnormale und Subtangente heisse Ni und Ti, 

 die Normale N ; der Winkel zwischen r und q, der das Wach- 

 sen des Radius vectors mit dem Winkel v misst, sei a. 



Deuten wir ferner durch Lagrange's Bezeichnung den 

 ersten und zweiten DifTercntial - Quotienten der Variabein : 

 nach V differenzirt , an, so ist für jede in Polar-Goordi- 

 naten gegebene Curve : r = f (v) : 



I r, n-? , ao C = r Cos V — d Cos y 1 ^ 



I ,,2 = C2 + S2 wenn: ;.c- ^• 



b = r bm v — o bin y i 



Für die Nachbarpunkte von M gilt : 



.1! : = CC-'tfs'--^Q ! — •3 = C'^ + S. .. 

 Hieraus folgt IL S" - III S' = o und III. C - II S' = o, 



IV ! ?!-!:? = ° I .„: P = CS"_S'C" 3. 



SP + C'Q = 

 Es ist aber : 

 C = r' cos v — r sin v C" = r" cos v — 2r' sin v — r cos v 

 S' = r' sin v + r cos v S" = r" sin v + 2r' cos v — r sin v 



