334 Denzler, arithmetische Untersuchungen. 



Vor Allem aus erlauben wir uns an folgende Salze , die (heils 

 Definitionen, Iheils Lehrsätze sind, aus den >'ro. 113 und lli 

 der Zürcher-Millheiluniien zu erinnern, wobei wir mit a, b, k- 

 und k, durchgehends reelle Zahlen, mit 4- i und — i aber die 

 beiden Werthe von K— 1 andeuten wollen: 

 niod. (a + bi) bezeichnet die absolute Zahl, deren Quadrat =; 



= a2 4- b2 ist. 

 arg. (a + bi) bezeichnet den einzigen Bogen, der entweder = n. 



oder zwischen .t und — .t liegt, dessen Cosinus 



= a : niod.{a+bi) und dessen Sin. = b : niod. (a+bi). 

 Ir, wo r eine absolute Zahl, bezeichnet die reelle Zahl, mit der 



e oder 2,718.. potenzirt, r gibt, 

 log. (a + bi) stellt jede der unendlich vielen Zahlen dar, die in 



\2 



die Exponenlialreihe 1 + x + - — - -h • • • «für 



X gesetzt, dieser Reihe den Betrag (a + bi) gibt. 



log. (a + bi) = 1 raod. (a -h bi) -1- [lyn. + arg. (a 4- bi)] i, wo 

 y die und jede positive oder negative ganze 

 Zahl zu ihren Werthen hat. 



ylog. (a + bi), wo X eindeutig und entweder die 0, oder dann 

 irgend eine positive oder negative ganze Zahl be- 

 deutet, bezeichnet denjenigen specielleu Werth 

 von log. (a -1- bi), der = 1 mod. (a -H bi) + 

 [2r;T + arg. (a + bi);i ist. ^log r ist somit = Ir, 

 wenn r positiv. 



(a -|- bi) ''+'''' drückt jeden der Werthe aus, welchen die Expo- 

 nenlialreihe 1 + X -h ■ • • • erhält , w enn für x 

 jeder der Werthe von (k + k,i) log. (a -I- bi) ge- 

 setzt wird. 



j(a -f bi)'^/' bezeichnet denjenigen speciellen Werth von 

 (a + bi)''*V, den die Exponenlialreihe 1 -f-x + .... 

 darbietet, wenn in derselben durchgehends die 

 eindeutige Grösse (k H- k,i) jlog. (a + bi) für x 

 gesetzt wird, „e"'*''/ ist somit nichts anders als 

 der Betrag der Exponenlialreihe 1 + (k -f k,i) + 

 (k -H k,i)2 

 1-2 ^ 



r(a H- bi)''+N' = „e<''+''/ir'»s- (^^'"». Der Exponent dieser Potenz 

 lässt sich nach der erwähnten Gleichung, welche 



