Denzler, arithmetische UnlersuchuDgeD. 335 



die Verwandlung von jIog.(I -j- a + bi) in eine 

 Complexe lehrt, in eine Complexe verwandeln. 

 Setzen wir diese = p 4- qi, so wird e*' (cos q + 

 4- i sin q) die der Potenz j(a 4- bi)''"^''/' gleiche 

 Complexe sein. 



k+k/i — »1_ 



j>^a 4- bi ist mit der Potenz yCa+bi)''^'''' gleichbedeutend. Es 



ist daher o^T^ = + i. 



vT T 



arc.tg. a bezeichnet den einzigen zwischen -und- ^ enthalte- 

 nen Bogen, dessen Tangente = a. 



arc.cos.a bezeichnet, wenn a^ ^ 1 , den einzigen pos. ti nicht 

 übersteigenden Bogen, dessen Cosinus = a. 



a bedeutet -+- 1 , wenn a = o oder eine positive Zahl , hinge- 

 gen — ■ 1 , wenn a negativ ist. 



Erster Lehrsatz. 



Bezeichnen a, b, k und k, reelle Zahlen, + i und 

 — i aber die beiden Werthe von }/— 1 , so besteht die 

 Gleichung : 



,(i+a+bi)''^V=l+('''^'''')(a+bi)4-(''+2'''')(a+bi)2 +• • • 1) 



jedoch nur in folgenden Fällen : 



1) Wenn mod. (a+bi) < i. 



2) » » = 1 , arg. (a-|-bi) = -T u. k positiv 



3) » » = I, [arg. (a+bi)]2<;r2u, l_^k positiv. 



4) » » > 1 , k, = u. k eine pos. ganze Zahl , 



oder ist. 



Beweis. 

 I. 



Um die Vergleichung unserer Arbeit mit der oben erwähn- 

 ten Abel'schen Abhandlung dem Leser zu erleichtern, wählen 

 wir die in dieser Abhandlung gebrauchte Bezeichnung, die wir 

 in folgenden Gleichungen darstellen : 



