336 Deuzler, arithmetische Untersuchungen. 



.^ (k + k,i) = 1 -f- ('^■^j'^'') a (cos tp -hi sui ^>) -f 



('^■^*''')a2cos(2(y -hisin 2(^) + 



wo a ■=■ mod. (a + l»') 



V =^ arg. (a + bi), milhin eiue eindeutige Grösse = -i 

 od. zwischen .i und — n. 



b^ = n.od. l^ +U-(^-l) 



k+k,i— (.«— 1) , , , • , 



7^ = arg. '—-^ = arg. [k+k,«— (."— 1)^ 



^jic = MV> -^ yi -\- y2 + • ■ • ' Yu 



f(k, k,) = mod. v(k -f k,i), mithin z. B. 

 f(l,0) = mod. [1 4- a (cos g) -h i sin 9))] 

 = mod. (1 + a -H bi) 

 V^(k, k,) = arg. tpik -j- k,i), mithin i/'(k, k,) eine eindeutige Grösse 

 = .T oder zwischen .t und — .t. 

 Mit ri, bezeichne ich die reelle, jedoch nicht gebrochene 

 Zahl , für welche die Summe 'l:ii\ -f- b entweder = .t, oder dann 

 zu einem Bogen wird, der zwischen .t und — .t liegt. So ist z. B. 



Bei dieser angenommenen Bezeichnung ergibt sich nun sehr 

 leicht durch Verwandlung der Reihe cpi^. +- k,i) iu eine Complexe 

 die Gleichung 



<^(k -h k,i ) = 1 -1- aX, cos 0, -\- a-X2 cos 62 -1- a^ 



i[aA, sin 6, -f- 0^X2 siu ©2 -H • • • • ] 



II. 



Wir gehen jetzt zur Untersuchung der Reihe (f{k + k,i) in 

 Beziehung auf ihre Con>ergeuz oder Divergenz über, und er- 

 örtern hiebei folgende Fälle : 



1) a < 1. 



2) a = 1 . k positiv. 



3) a = 1 , k = ü od. zw. u. -1 , cp"^ < n^. 



