Denzler, arithmetische Untersuchungen. 339 



endlich gross, und die Reihe (-1 -+- 1 — j\ -f- . . . |-\ ,nach 



dem in der Relation 3) ausgedrückten Conversenz-Kennzeichen, 

 couverccnl , mithin, da b, hi, b2- • • bj| ^ positive zwischen 



und - liegende Zahlen .sind , um so mehr die Reihe der nega- 

 tiven Summanden in jenem Exponenten convergent; woraus sofort 

 mit Rücksicht auf 6) folg! , dass 



lim. l^r .^r+l " ^r+2 • • • • <5„) <= 0, und daher auch, da ja r 

 eine positive endliche Zahl ist: 



lim. ((Ji • ^2 • • • ^r • ^r-hl " ' * ^n) oder lim. mod. ^^"^"^''W o 



In Folge dieser Gleichung wird somit olTenbar, 



wenn 1 + k positiv, lim. ('^'^'''') =0 sein. 8) 



Nun ist ferner der Unterschied zwischen der Summe der (n-(-I) 

 ersten Glieder in der Reihe 



[1 + cos 9? -h i sin g>] -\-( \. ' j (cos cp -f- i sin cp) (i + cos cp +i sin 95)+ 



"^('^'2'^'') ^^^^ 2 rp + i sin 2cp) {i +coscp + i sin cp) • . . . 9) 



und der Summe der (n -+- 1) ersten GUeder in 



l + [(*^'*]'^'') +1] (cos cp+isiacp) + 



+ {_C'f'') + C'^i^'')'] (cos 2cp + i sin 2cp) + 



+ [(''"^3'''') +('^^2'^'')] (^"« 3rp + i sin 3<p) + . . . ^"^ 



wie auch n angenommen werden mag = ( "^ '') [cos (d + 1) ^ + i 



sin (n+l) <p' , mithin vermöge der Gleichung 8) für ein unend- 

 lichgross werdendes n gleich Null. Es wird" daher die Summe 

 der Quotienten aus den einzelnen Gliedern der Reihe .9) durch 

 die von verschiedene Complexe(H-cosfp-hisinf/)), d. i. die Summe 



1 +('*"^^'')(cosfp+isin9') + (^~^2'^) (cos 2(p+i sin 2(p) 4- . . . 1 1) 



gewiss nicht aiigebbar verschieden sein von der Summe der 

 Quotienten aus den einzelnen Gliedern der Reihe 10) durch die- 



