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selbe Coaiplexc (1 4- cos rp 4- i sin rp). Können wir nun /eisen, 

 (iass diese lelzlere Sunniie converirenl is( . so wird daraus dann 

 (ilTenbar auch die Cuuvert;enz you 11) lier>orsehen. Aber dieser 

 Beweis führt zu keinen Schwierii,'keiteu , denn es ist, wie sehr 



leicht einzusehen: ('^■^,'^'')-^-(''TtV) = (^■^^"^'''')^ milhiu die 

 Keihe 10) 



=l-f- ( ' +'^+'^'' ) (cos cp + ismcp) -r 



->-(^"^'V^'''')(cos2(y)-Hisin2rp) -H 12) 



Da nun in unserem zu erörlernden Falle k = oder ein ne- 

 gativer echter Bruch ist. so ist 1 4- k positiv und mithin nicht 

 bloss die Reihe 12) nach dem bereils bei der Discussion der 

 Fälle 1) und 2) Bewiesenen convergenl, sondern auch die Reihe 

 der Moduli der einzelnen Glieder dieser Reihe. Dividirt maji 

 daher jedes Glied in 12) dnrch (1 +cos (p4-ising)), was dadurch 

 geschehen kann, dass man vorerst durch Mod.(l-hcosy-hisinrp) 

 und hernach durch den reducirten Ausdruck zu 1 -i- cos (p + i sine/) 

 dividirt, so \\ird die erste Division, welche nur die Moduli der 

 eijizelnen Glieder ändert, offenbar wieder eine solche Reihe 

 sein, bei der die Reilie der Moduli convergirt. die zweite Di- 

 vision aber die eben beschriebene Convergenz gewiss nicht auf- 

 heben, da sie die Moduli unverändert lässt , und nur die re- 

 duzirten Ausdrücke der einzelnen Glieder ändert. 



Ad i) Wenn in diesem Falle, k, = k = wäre, so würde 

 offenbar der Betrag der Reihe rp(k + k,i) =1, und mithin diese 

 Reihe convergent sein. Wenn aber k, und k nicht zusleich Nullen 

 sind, dann lässl sich tlie Divergenz der Reihe rplk -|- k,i) auf 

 folgende Beweise zeigen: Es ist. wenn 

 Gy = arg(k+k,i)H-arg(k-l-+-k,i)-f-...arg(k— y+i-|-k,i) 13) 



j_ jk-hk,ij _^ jk+k,i^ _ _ , _Xicosei-hA;cose2->MCOS03-h 

 -f- • • • -t-ii— Xisinö'i-l-/2sin©'2— A3sine'3+ • • -j J^) 



^1. 2. 3. y 



Für den Fall, da k, = 0, geht die zu untersuchende Reihe 

 rj_ (l^+l^.') ^ ('"+'''') + . . • ] über in die Reihe l4-Ai4-A2-f-.., 



