342 Denzler, aritbmeliscbe Untersucbaogen. 



Ueberschreilel nun n die Zahl v nicht , so wird eewiss y -^ oder 



A. > in + h2+'_^'K 20) 



a — k. 



Es wird sich demnach in jedem Falle ein solcher endlicher 

 Werth a„ von a hesh'nuncn lassen , für -welchen der absolute 

 Werth der Summe (bi + 1)2 + bj + • • - • b„) , wenigstens so 

 lange n nicht über y steigt, iuinicr unter einen angebbareu 



Arcus, z. B. unter ^ fällt. 



Nun findelman mit Hülfe der Gleichungen 19) für die Summen 

 16) und 17) sehr leicht folgende: 



^ay+i S'" Ö'ay+1 + hy+i ^'" i^'ay+i + ^i) -1- 

 + ^ay+3si"(0'ay+l + ^i+*'2) + • ' ' 

 . .A3y_^j,sin(0'ay_^l +b, + b2 + . . .by_i) 21) 



^ny+l cos 0'ay+i + ^ay+2 ^^s (©'gy+l + ^i) + 

 + ^ay+3 <^°S (®'ay+l + ^i + b2) + • • • 

 • .A3y^ycos(0'ay^_, +bi-fb2-h- • -by.i) 22) 



Zur Untersuchung dieser Summen nehmen wir vorerst an , es 

 sei, wenn a den vorhin beschriebenen Werth ao hat: 



tang2 0'3y+i > 1 

 d. h. der Endpunkt des Bogens ©ay+l entweder in der Mitte 

 eines Quadranten , oder dann dem Endpunkt von +. -^ näher ; 



alsdann ist ofTenbar bei diesem Werthe a^ von a, der absolute 

 Werth von der Summe 21) 



> sin 4iO[Xa_^y_i_i + h^y+i + • • • ''■a^y+yl 

 mithin auch, wenn man die Bedeutung von Ay, die in der Glei- 

 chung 15) ausgedrückt ist, ins Auge fasst : 



>sinMo(— ^H ^-7^ + —^,+ ' • --A-)*^' 



r^ \aoy4-l ' aoy+2 a„y +3 aoy+y/ 



> sin 440 — ^ iv, 



ao7+7 



Wenn demnach in die Summe 16) oder 21) ein solcher endlicher 



k .T 



Werth a« für a gesetzt wird , für welchen-^ < ^,wennfer- 



