Denzler, arithmetische Untersuchungeo. 343 



ner tang^ 0'a y_|_i ^ 1 , so ist der Betrag dieser Summe, selbst 



wenn y unendlich gross wird, doch immer dem absoluten Werlhe 



k sin 44° 

 nach über der endlichen Grösse — r— . Ist aber 



ao-+-l 



tang2 0'aoy + l < 1 



so findet sich eben so leicht , dass der absolulo Werlh der 

 Summe 17) oder 22) bei derselben Substitution für a auch für 

 ein unendlich gross werdendes y, nie unter die endliche Grösse 



k cos 46'' 



—, herabzugehen vermag. 



1 + ao 



Ad 5) und 6) Wenn a = 1 , k = — 1 oder zwischen — 1 



und — CO, so ist die Reihe (/)(k+k,i) divergent. Nach der 



Gleichung 2) ist nämlich , wenn a = 1 , 



Xycosöy das (y + l)'* Glied in dem reellen Bestandlheil von 



fp(k + k,i). 



Aysin0y das {y + 1)'* Glied in dem imaginären Bestandtheil von 



(^(k + k,i). 



Da nun Ay ein Produkt aus y Faktoren, von welchen der 



-£ — ^ z. Ja ferner k entweder = - 1 , oder 



dann zwischen - 1 und - co liegt, so ist klar, dass jeder der 

 y Faktoren, deren Produkt Ay ist, eine positive Zahl seinmuss, 

 die jedenfalls nicht unter der Einheit liegen kann, dass somit Ay 

 selbst entweder 4- 1 oder dann > 1 ist. Nehmen wir nun an, 

 für ein unendlich grosses y, wäre cos 0y = oder uneudHch 

 nahe an , so würde gewiss sin 0y dem absoluten Werlhe nach 

 sehr nahe an 1 , und mithin der absolute Wertli von Ay sin Qy 

 entweder ebenfalls sehr nahe an 1 , oder dann jedenfalls grös- 

 ser sein. In diesem Falle wäre milhin nicht jedes der spätesten 

 Glieder im imaginären Bestandtheil von f/)(k -h k,i) unendlich 

 klein und daher c/3(k -t- k,i) divergent. Wäre aber für ein un- 

 endlich grosses y die Zahl cos 0y angebbar von verschieden, 

 so würde Ay cos 0y nicht unendlich klein , und daher auch in 

 diesem Falle die Reihe y(k + k,i) divergent sein. 



Wenn a ^ 1, so kann die Divergenz der Reihe, wenn sie 

 nicht abbricht, ähnlich wie in dem eben behandellen Falle be- 

 wiesen werden. Convergent kann somit die Reihe fp(k4-k,i), 

 wenn a > 1, nur dann sein, wenn zugleich k, = und k eine 

 positive ganze Zahl oder ist. 



' ^y 



