344 Denzler , ariHimetische Untersuchungen. 



Wir habeu somit folgendes Resulfal aus der Discussion 

 sämnitlirhpr Fälle eewoniien : Die Reihe rp(k -H k,i) convergirl 

 durchaus nur in folgendeu 5 Fällen : 



1 ) wenn a < 1. 



2) » a = l , cp = 71 nnd k positiv. 



3) .1 a = 1 , fp2 <; ,-j3 und 1 -+- k positiv. 

 l) .) a = 1 , fp = .-T nnd k = k, = 0. 



5) ') a > 1 , k, = und k eine positive ganze 

 Zahl oder ist. 



III. • 



Wir zeigen nun das Stattfinden folgender Gleichungen für 

 den Fall , da a < I : 



cp{k + k,i) . cp{\ + M) = 7)[k 4- I -r (k, + i;)i] 23) 



f (k , k,) . f(l , l) = f (k + Mi, + I,) 21) 



tp{k, k,) -+- tp(l, I,) + 2.Tr^(k,k,) ^ V;fl,l,) = "^(^ +IK + 1) 25) 



Setzen wir zu diesem Behufe k -h k,i = m , I + I, t=: n und 

 a + bi oder afcos cp + i sin cp) = \. so ist nach der Bedeutung 

 des Zeichens q) : 



und das nach steigenden Potenzen geordnete Produkt dieser 

 beiden Reihen q){m) und q>[o) 



= ' + [(T) + (?) y + [('2 ) + (TK?) + (2") ] «' + ■ • 2«) 



Nun beweisen wir . dass das allgemeine Glied dieser Reihe 26) , 

 nämlich : 



Zu diesem Zwecke multipliziren wir vorerst die sämmllichen 



m + u — y 

 Glieder des ersten Theils dieser (ileichung mit — , wo- 



y+ 1 



durch wir zu folgenden Gleichungen gelangen : 



