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a mm das Produkt aus dem zweiten Theil von dei 

 chuug 27) in denselben Quotienten gleich | 7] . ) 



und da nun das Produkt aus dem zweiten Theil von der Glel- 



m + n— 7 ... /m-f n, 



—-—^ gleich ' 



7 + 1 ^ y + 



so ist klar, dass wenn die Gleichung 27) für iruend einen Werth 



Y, von y besieht , dieseii)e Gleichung auch für den Werth 



(y, -I- 1) von y, dann wieder aus demselben Grunde für den 



Werth [y, ■+- 2) von y besteht , u. s. f. , kurz für jeden Werth 



von 7, der > y, ist, stattfinden muss. Nun zeigt sich sogleich, 



dass die Gleichung 27) für den Werth 1 von y Bestand hat, und 



wir können daher die Gleichung 27) als vollkonunen richtig für 



jeden Werth >on y erklären, der eine positive ganze Zahl ist, 



seien hiebei die Werlhe von m und n reelle oder complexe 



Zahlen. 



Die Reihe 26) ist also vermöge der soeben bewiesenen 



Gleichung 27) : 



= 1 + ( j )^ + { 2 j x2 + • • . = 9j(m + n) 



Aber diese Reihe convergirt in dem Falle , da a oder Mod. x 

 < 1 ist , und man darf daher das nach steigenden Potenzen 

 von X geordnete Produkt aus den convergenten Reihen <^(m) 

 und g>(n) der Reihe <^(m-t-n) immer gleich setzen, wenn a < 1. 

 Wenn die beiden Reihen g;(m) und cp{n) abbrechen, so wird 

 ofTenbar auch <^(ni-i-n) eine endUche Reihe sein, und die Exi- 

 stenz der Gleichung (p[m) • cp'n) = q){m -+■ u) ist alsdann von der 

 Grösse des a ganz unabhängig. 



Fassl man die im Eingange von I. angegebene Bedeutung 

 der Funktionszeichen f, ip und r genau ins Auge, so findet 

 man als leichte Folgerungen von 23) die beiden Gleichungen 

 24) und 25). 



IV. 



Wir beweisen nun ferner, dass, wenn a < 1, die Glei- 

 chung stattfindet: 



f(k,k,) = „e'''f*',o,.k,if,o,„ ^ [,f[i,oy^ . [oflO,!)]"' ' 28) 



Vorerst bemerken wir, dass f(l,0), wenn a < 1, olTeubar 

 nicht sein kann , und dass auch jeder der Moduli f(0,l) und 



