348 Dcnzler, aritbmelische Untersuchungen. 



Da nun gemäss der Gleichung 'i'i) 



r(k,k,) = f(k,o) . f(ü,k,) 



so folgt hieraus und aus den Gleichungen 31) und 32) sofort die 

 Gleichung 28), w. z. b. w. 



Wir gehen jetzt , voraussetzend , dass a < 1 , zum Beweise 

 folgender Gleichung iJber: 



V;(k,0) = kV^(l,0) + 2.Tr,,^(, 0) 33) 



wo -«/^(kjO) und t/^(l,0), wie übrigens schon in I.) erwähnt, ein- 

 deutige Bogen bezeichnen, von welchen jeder = n oder dann 

 zwischen x und —ti liegt, und rj^^^rj q) *^'°^ «eelle nicht ge- 

 brochene Zahl ist, für welche 2;rrj^^^io) + kx/^(l,ü) entweder 



= -T wird , oder dann zwischen .t und — .t fällt. 



Ich beginne die Begründung der Gleichung 33) mit dem Be- 

 weise , dass die Binomialreihe 



• l+(^ + (2)'^'+(3)«'-^- =*'^'^'«) ^^^ 



wo k irgend eine reelle Zahl , und a ebenfalls eine reelle Zahl , 

 aber dem absoluten Werthe nach unter 1 liegend bezeichnet, eine 

 von verschiedene positive Zahl ist. Es ist nämlich bei dieser 

 Bedeutung von k und a, wie wir schon in IL) gesehen haben 

 die Reihe 3i) couvergeut. Nehmen wir nun zunächst an, k sei 



= -, wo q eine positive ganze Zahl, und a positiv, so ist iu 

 diesem Falle die Reihe 34) = 



, 1„-1) 1(1-1) (2-i) 



q 1 • 2 "^ 1 . 2 • 3 • q 



Ein Blick auf diese Reihe reicht hin, um einzusehen, dass der 

 Betrag dieser Reihe, wenn q eine positive ganze Zahl und a<l 



und positiv ist, zwischen 1 und 1 4 — a liegt, mithin wirklich 



eine positive Zahl ist. Bezeichnet nun p irgend eine positive 



