, 1 



k — — zu 



Deuzler, ariibmeliscbe CiUersiicbungen. 349 



ganze Zahl, so ist auch die Reihe F(-, a), die wir nach der 

 Gleichung 23) gleich dem Produkte aus p Reihen setzen dürfen, 

 von welchen jede die positive Reihe F(-, a), eine positive Zahl , 



und da ebenfalls nach 23) F'J*-, a) • F(-2, a) = F(0,a) ='1 , so 

 wird auch F— -, a) eine positive Zahl sein. 



q 



Ist aber a negativ und = — a, , so wird die Reihe 34) für 

 1 



q 



1-^la, + L_fa,2 + L_g q_v. =--F(-l,-a,) 



q 1-2 1 . 2 • 3 q 



mithin otTenbar positiv sein. Nun ist wieder nach 23) F( — -,— a,) 



4 



ein Produkt aus p Reihen, von welchen jede die positive Reihe 



1 

 F( — , -a,) ist, mithin ebenfalls posili\ ; und da endlich ver- 

 möge der Gleichung 23) F(— ^, -a,) • F(+2 __a,)=F(0, -a,)- 1, 



so ist auch F(-, — a,) positiv. 



Wenn also in der Reihe F(k.a) a irgend eine dem absolu- 

 ten AVerthe nach unter 1 liegende positive oder negative Zahl 

 ist, so wird für jeden reellen Werth von k, die Reihe F(k,a) 

 nie = 0. sondern eine positive Zahl zu ihrem Beirage haben. 



Das so eben Bewiesene macht es uns nun möglich zu be- 

 weisen, dass die Reihe 



l-|-(^)aCOS(/J-f Q)«-cos2rp + Q)c/.'"'cos3f/) -!-...~-f(k,0) COS (yi(k,0) 



in welcher « positiv und < 1 , a erschieden von und positiv 

 ist, wenn k eine positive oder negative, aber dem absoluten 

 Werthe nach die Einheit nicht überschreitende Zahl bezeichnet. 



Ist nämlich k zunächst positiv und = dein echten Bruche , so 



q 



ist nach dem Aorhergehenden die Reihe 



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