350 Denzler, arithmetische Untersuchungen. 



verschieden von und positiv, mithin ¥{k, — «) — 1] eine ne- 

 gative dem absoluten Werlhe nach unter 1 lieijende Zahl; woraus 

 sogleich folgt , dass um so mehr der absolute Werlh von 



f(k,0) .cos(p(k,0)— 1 = 



= {^)acoscp+ Qa'2cos2fp-\-(^)aHos3cp + 



k(l-k) , „ k(l-k)(2-k) , 

 = kacoscp-\ — —a-cos2cp-\ — — a> cos 3cp— ' • • • 



unter der Einheit verbleibt, dass daher jedenfalls, wenn k po- 

 sitiv und nicht über 1 , und zugleich a < 1, das Produkt f(k,0) . 

 cosf/'(k,0) nicht und positiv ist. 



Ist aber k eine negative dem absoluten Werthe nach die 

 Einheit nicht überschreitende Zahl und = — x, dabei wieder 

 a < 1 , so bedenke man , dass nach 23) das Produkt der Reiben 

 <?'(x) • *>(■ — x)? oder 



f(x,0) [cost/;(x,0) -hi sintp(x,0)] X 



f(— x,0) [cost/^(— x,0) + i sinV^C— x,0)] = 1 , mithin 



f(— x.O) [cos t/;(— x,0) + i sintp(— x,0)] = 



= [f(x,0)]-». [cosa/^(x.O) — i sini/^(x.O)] 



cosV;(x,0) 



f(— x,0) cost/;(— x,0) =- 



f(x,0) 



Da nun, wie bereits bewiesen, f(x,0) • cost/^(x,0) verschie- 

 den von und positiv , ferner f(x,0) als Modulus nicht negativ 

 ist, so wird aus dieser letztern Gleichung klar, dass f(— x,0) • 

 cosrp{—\,0) nicht sein kann, und nolhw endig positiv sein muss. 



Wir sehen also, dass cos »/-■(k,0) , wenn k^ nicht > 1, und 

 a < 1 , jederzeit positiv ist. Hieraus folgt , dass i/-'(k,0) unter 

 diesen Voraussetzungen und bei der angenommenen Bezeich- 

 nungsweise, nach welcher t/> einen Bogen bedeutet, der entwe- 

 der = n, oder zwischen n und ~.^ liegt, dem absoluten Werthe 



nach den Bogen — weder erreichen, noch übersteigen kann. 



r iIj. oi4-ti;('m 01^''^'^ daher immer sein, so lange a < 1 und 

 n^ wie m^ < 1 ist. Berücksichtigt man das so eben Gesagte, 

 und die Gleichung 25) bei jeder der aufeinanderfolgenden Ad- 



