352 Deiuler, arilbmelische Untersuchungen. 



so finden wir durch Sublraclion dieser Gleichung von 38) 



2-'[^-Vl.0)]=^CM)-a. 39) 



D.1 nun nur nach der angenommenen Bedeutung der Funk- 

 tionszeichen t/; und r, jede der Zahlen V^(k,0) und a entweder 

 t= .T oder dann zwischen z und —n liegt, so kann die Glei- 

 chung 39) durchaus nur dann bestehen, wenn s = r. j-j qv, 



woraus dann endlich mit Rücksicht auf 38) die Gleichung 33) 

 folgt. 



VI. 



Bezeichnet nun q eine positive oder negative unendlichgross 

 werdende ganze Zahl , und w den Quotienten -, und ist immer 

 noch a < 1 , so hat man folgende Gleichungen : 

 lim. ^^-^-^=^A[{i,Q>)~acos,<p—'a?cos2cp+-aHos,Zcp—... 40) 



lim. ~^^^-— -lf(0,l)^-.t/,'(l,0)=.asin9— ^a?sin2(y+^a'cos3<p.. 41) 



t/;(0,k,) = k,l f(l,0) -t- 2.7r^ ,f^j 0^ 42) 



Um diess zu beweisen, untersuchen wir die Funktionen 

 cp[(i) und cfi{ioi). Es ist cp{w) oder 



f(w,0)[cost/;(w,0) + isin'^(w,0)] ~ 1 -h wa(cos^ 4- isint^) + 



H- ^*^^!^" «'?(cos2(y -+- i sin2fp) -|- • . . 43) 



Der zweile Theil dieser Gleichung ist, da a < 1 , für jeden 

 Werth von w eine convergente Reihe. Die Sondefung des Reellen 

 vom Imaginären führt zu folgenden zwei Gleichungen 



f(w,0) • cost/;(o>,0)-l w— 1 „ 



^^ = a cos cp 4- - — — «2 cos 2a> -h 



w 1-2 



(cü-l)(a)-2) . , , .,x 



+ ^~~ 2 . 3 "■* ^^^ 3y 4- . . . . 44) 



