Denzler, arilhmelische Dntersucbuogen. 353 



f(ö),0) . sint/;(w,0) co-l „ . ., ^ 



lo 1.2 



(o(—l)(ü} — 2) 

 ^.y.3. «-cos3y + - ... 45) 



Die Greiizbesliinniungen der in diesen 2 Gleichungen er- 

 scheinenden convergenlen Reihen hat Jiicht die mindesten Schwie- 

 rigkeiten, da die Grenzen der einzelnen Glieder sosieich her- 

 vortreten. Zur Grcnzbeslinimung der ersten Theile dieser Glei- 

 chungen aber, erwäge man zunächst, dass nach der Gleichung 28) 



f(a),0) = „e'^"^^^'^' und nach der Gleichung 33) t^(w,0)=<ox/;(l,0)-|- 

 -H 2.7r ,. ,. Nun ist f(l,0) = mod.Fl + a{coscp -4-isin<;p)] und 



i/;(l,0) = arg[l -+- a{cosip -f- i sin <y) j und a < 1, mithin 

 l-{- a[coscp+isincp) verschieden von 0, was natürlich zur Folge 

 hat, dass weder wlf(l,0) noch u>\p{l,Q) das Gepräge der L'nbe- 

 stinimtheil tragen und r ,. «-,=0. Da ferner für jeden Bogen x, 



dessen absoluter Werth unter -^ liegt, ol^l — x- < cosx, und um 



so mehr 1 — x- < cosx, so wird man zur Bildung von cosx von 

 der Einheit bx^, wo b einen positiven echten Bruch bezeichnet, 

 subtrahiren müssen, und es ist daher auch cosV'('<^,0) oder 

 cos[a>ip(l,0;] = 1 — bfc»2t/^(l,0)2. Diess beachtend findet man jetzt 

 leicht: 



f(a>,0) . cosi/<w,0)-l 

 hm. — ^ ^^ = 



CO 



= lim. ^+<'^m.o)+K^'muo)y)[i-ho>^Mi,or-i ^^^ 



Ferner ist für jeden positiven Bogen x unter — , x < tangx, mit- 



. . 1 1 . 1 , , 1 ,1 1 . 



hin -X cos,^x<sin-x daher -x cos*- x < -smx, und um so mehr 



x(l— -x^) < sinx, woraus folgt, dass man von x, was grösser 



•) So lange das Quadrat der reellen Zahl z die Einheit nicht 



z2 

 übersteigt, findet man die Exponcntialreihe 1 -{- z -| + 



ohne Schwierigkeit =: 1 -f- z -t- b^z*, wo b, zwischen und 1 liegt. 



