354 Den/.ler, arilbroetiscbe Untersiicbungen. 



als sin X isl, einen Bot^cn unter -v^ /ur Bilduns; von sinx sub- 



trahiren niuss. Es wird demnach sinx = x — -b,x3, woO<b,<l. 



Diese Gleichun? gill , da sin— x = —sinx, auch für ein nega- 

 tives X. Man darf daher dem sint/^^w.O) oder aiü[o)\p[i,0)] die 



Differenz V'(w,0) — -b,t/^(6>,0)j oder <t)\p[i,0) —-h,(o^\fj{i,0)^ sub- 



stiluiren. Diese Substilulion und die der Exponentialreihe für 



^e<^ll(l,0)jjiei(.he Grösse ■ l-l-&>lf(l,0)-l-b„ü)-l^f(l,0)] JQ den Ausdruck 



—^ lässl ohne Mühe die Richtigkeit folgender Glei- 



u> 



chung erkennen : 



f,a),Ol • sinWa>,0) ,, ^, ,. i/^f&),0) 



hm. ' ' 11^— L_L = ipii.O) = hm. 



Geht man also in den Gleichungen 44) und 45) zu den Grenzen 

 über, so findet man: 



lf(l,0) = acosg; — ra^cos2^ -H -a^cos3cp — .... 46) 



lim. ^^^^^^ = V;(1,0) = asinrp - -a? sin'Zcp + -ahinicp-.Al) 



jedoch vorerst nur unter der Voraussetzung, dass a < 1. 

 Ferner ist cp{u>i), oder 



f(0,w) [cost/;(0,a)) 4- i sini/;(0,a))' =- 1 + 



+ tüia(cos<p + i sinc^) -\ ,^ V (cos2y -+- i sin2y)-i- • • • • 



48) 

 = 1 + wi>'Cos cp + \ sin cp) + - — ^a2(cos2(/) -h i sin2(p)-+- • • • J 



Die Grenze , v\ elcher sich die eingeklammerte Reihe , die w enn 

 a < 1 für jeden Werlh von w convergirt, beim unendlichen Ab- 

 nehmen von w ohne Ende nähert, ist, Avie man leicht findet, 

 die couvergente Reihe : 



a(cos(y)-l-isinf/:)— -a2(cos2^ + isin2g)) •+■ -a^{cos3cp + i sinSqp)— .... 



und man hat daher offenbar folgende Gleichung: 



